Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Отражение упругих примитивных волн.

Рассмотрим упругое полупространство со свободной границей При отсутствий впешних сил, уравнения колебания такого полупространства, как известно из § 1, будут иметь следующий вид:

где скалярный потенциал, составляющие векторного потенциала.

Составляющие вектора смещения выражаются через потенциалы с помощью формул:

Как легко проверить, условия на границе полупространства будутиметь вид:

Подобно тому как это имело место в теории плоских волн, ни чисто падающие, ни чисто отраженные примитивные волны не удовлетворяют граничным условиям. При этом опять, аналогично прежнему, встает задача — но заданной падающей волне определить отраженные так, чтобы сумма их удовлетворяла граничным условиям (15).

Мы не будем здесь приводить подробно решение этой задачи, так как оно чрезвычайно напоминает рассуждения, проделанные нами при

смотрении задачи о плоских волнах, а ограничимся приведением трех универсальных формул, аналогичных формулам (77) и (79) § 1, содержащим в себе все возможные случаи.

Формулы эти имеют вид:

(см. скан)

Во всех трех написанных формулах (16), (17) и (18) функции и суть произвольные решения волнового уравнения:

как функции двух вещественных переменных и одной комплексной Если, как функции они определены и ограничены в верхней полуплоскости, то мы должны считать в этих формулах радикалы — и всегда или положительно вещественными или отрицательно мнимыми. Если же считать и заданными и ограниченными в нижней полуплоскости комплексного переменного то эти радикалы нужно выбирать положительно вещественными или положительно мнимыми. В случае, если оба радикала вещественны, вещественная часть функции на вещественной оси будет, очевидно, совершенно произвольна; при этом становится безразличным, где считать определенными и

Читатель может легко убедиться в том, что формулы (16), (17) и (18) представляют собой решения уравнений упругости, удовлетворяющие граничным условиям. Эти формулы аналогичны (77) и (79) § 1 с той разницей, что здесь везде вместо стоит

Исследуем подробно все частные случаи, даваемые этими формулами. Формула (16) при очевидно дает закон отражения некоторой примитивной падающей продольной волны. Первое слагаемое в выражении для представляет собою падающую волну, а второе отраженную. Потенциалы и представляют отраженные поперечные волны.

С помощью простых рассуждений, которые мы здесь не имеем возможности приводить, легко установить, что всякий потенциал падающей продольной волны, то есть такой продольной волны, в которой зависят лишь от аргументов может быть представлен в виде:

где функция, удовлетворяющая условию (19).

Для тех же значений формула (17) дает отражение такой падающей поперечной водны, у которой составляющая вектора потенциала по оси равна нулю. Первые слагаемые в выражениях и представляют собою падающие волны, а вторые отраженные. Выражение для очевидно представляет собою отраженную волну.

Формула (18) дает для отражение поперечной волны о составляющими равными нулю. При отражении такой волны продольная отраженная волна не образуется.

С помощью таких несложных рассуждений молено показать, что любая падающая поперечная волна, в которой являются функциями от может быть разложена на сумму двух волн, у одной из которых а у другой Для этого нужно предварительно разбить нашу поперечную волну на сумму двух таких волн, для которых у одной а у другой

Потенциалы этих двух волн при соответствующем выборе и будут обладать требуемыми свойствами.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление