Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5. Принцип наложения.

Понятие примитивных волн позволяет легко выяснить один общий принцип, полезный в дальнейшем. Разберем сущность этого принципа.

В пространстве с координатами выберем новую неременную координатную систему зависящую от параметрах и определенную формулами:

Рассмотрим в этой неременной системе координат функцию представляющую собой решение двухмерного волнового уравнения:

зависящее от параметра X еще и явным образом.

Очевидно, что эта функция в пространстве х, у, z при всяком значении параметра X представляет собой решение трехмерного волнового уравнения:

Интегрируя это решение по параметру X в промежутке от до мы получим, решение уравнения (23) в виде:

Мы примем здесь на веру основной принцип, применение которого делает формулу (24) чрезвычайно полезной при решении различного рода задач. Этот принцип, который мы будем нашвать принципом наложения, заключается в следующем.

Всякое решение уравнения (23) представимо в форме (24), где является решением (22).

Назовем вектор волновым вектором, если все его составляющие удовлетворяют волновому уравнению.

Принцип наложения пригоден не только для получения скалярных решений уравнения (23), но годится и для получения произвольных волновых векторов.

Рассмотрим некоторый вектор направленный, например, по оси зависящий лишь от и параметра X, и удовлетворяющий волновому уравнению (23).

Очевидно, этот вектор в системе координат имеет составляющие:

и удовлетворяет волновому уравнению (23).

Очевидно, что результат интегрирования этого вектора по параметру X в пределах от до , дает нам опять решение волнового уравнения. Мы получим таким образом:

Совершенно аналогичным способом мы можем поступить с векторами, направленными по оси или но оси х.

Очевидно, например, вектор являющийся решением волнового уравнения (23), представляется, аналогично (25), в виде:

Подобно тому как мы могли получить по принципу наложения решения волнового уравнения (23), мы можем, пользуясь тем же принципом, получить и общие решения уравнений теории упругости.

Эти решения, как оказывается, могут быть получены путем наложения решений двух основных типов: во-первых, решения задачи в координатах характеризуемого потенциалами и IV, скалярным и векторным, направленным по оси и во-вторых, решения, в котором отличен от нуля только потенциал зависящий от и

Формулы, характеризующие эти решения, будут, очевидно, иметь вид:

где

и

С точки зрения нринцина наложения легко установить неносредственну» связь между примитивными и плоскими волнами.

Мы не будем за неимением места останавливаться здесь на строгом выводе, а приводим лишь окончательный результат.

Оказывается, что всякое решение уравнения (23), представляющее собой примитивную волну со скоростью распространения представляется как результат наложения таких решений (23), которые имеют вид плоских волн, зависящих от аргумента

где

С этой точки зрения падающая примитивная волна есть просто аггрегат из плоских волн, падающих под одинаковым, углом во всевозможных меридиональных направлениях.

Точно так же отраженная примитивная волна есть просто аггрегат из отраженных Плоских воли, идущих под одинаковым углом к плоскости во всевозможных направлениях.

Простейшим примером на применение принципа наложения может служить построение бесселевых функций.

Рассмотрим решения волнового уравнения (23), имеющие вид:

Составляя решение (23) наложением и подставляя для удобства

получим:

Вводя вместо X новую переменную и пользуясь периодичностью подинтегрального выражения, преобразуем (35) к виду:

откуда, пользуясь известными интегральными представлениями бесселевых функций сразу получаем простейшие решения волнового уравнения:

Нетрудно убедиться, что принцип наложения, сформулированный нами для неограниченного пространства, может быть с успехом применен и для полупространства

Если мы имеем некоторое решение уравнений упругости, даваемое форму лами (31) и (32), удовлетворяющее однородным граничным условиям, например:

то очевидиц результат наложения таких решений в виде (28) дает опять решение уравнений теории упругости, удовлетворяющее граничным условиям (38).

Накладывая падающие и отраженные плоские волны, представляющиеся формулами (77) и (79) § 1, мы можем получить падающие и отраженные примитивные волны, представляемые формулами (16) и (17).

Накладывая далее плоскополяризованные поперечные волны, у которых отлична от нуля только составляющая вектора смещения по оси мы получим решение (18).

Действительно, подставляя в формулы (28) решения (77) § 9 и заменяя будем иметь:

(см. скан)

Если мы рассмотрим — первообразную функцию для

и введем функцию по формуле:

то будем иметь, очевидно:

Подставляя эти выражения в формулы (39—41), приходим к формулам (16). Совершенно аналогичными выкладками можно получить формулы (17). Для получения (18) представим прежде всего вектор смещения в плоско поляризованной поперечной волне с номощью нотенциала Пусть мы имеем некоторую плоско поляризованную поперечную волну с вектором смещения зависящим от и направленным по оси Этот вектор, как вытекает из определения, должен удовлетворять уравнению:

Построим вектор направленный но оси зависящий также только от и удовлетворяющий условию:

Очевидно, всегда можно подобрать при этом так, чтобы

Действительно, если мы нашли какую-нибудь функцию удовлетворяющую то на основании (44)

При этом за можно взять где произвольное решение уравнения;

Нетрудно видеть, что векторный потенциал удовлетворяет волновому уравнению и условию

Если падающая плоская волна имеет вид:

то очевидно условие свободной границы дает для отраженной волны формулу:

Совокупность же падающей и отраженной волн представляется в виде:

Применяя к формуле (47) принцип наложения, мы с помощью элементарных выкладок получаем (19).

Очевидно, принцип, сформулированный нами для обычных волн, остается справедливым и для комплексных. Наложение комплексных плоских волн дает комплексные примитивные волны.

Наложение двухмерных рэлеевских волн дает трехмерные поверхностные волны.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление