Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

8. Построение других фундаментальных решений.

Кроме первого фундаментального решения нам полезно будет ввести еще три других и указать, каким образом они могут быть получены при помощи принципа наложения Эти решения являются чисто поперечными и имеют следующий вид:

Решение представляет собою чисто поперечную волну. Так как производные от составляющих вектора смещения терпят разрыв на поверхности которая является характеристикой, то, очевидно, второе фундаментальное решение является правильным разрывным решением уравнений теории упругости.

Вектор в некоторой точке пространства направлен перпендикулярно меридиональной плоскости, проходящей через эту точку и ось Величина его зависит только от Поэтому вся картина движения симметрична относительно оси

Решения получаются из перестановкой роли координат Легко указать, какие решения необходимо накладывать для получения (65), (66) и (67).

Для значений решение (65) получается наложением чисто поперечных решений в виде плоско поляризованной волны с вектором смещения параллельным оси у:

где

а для значений наложением решений обратных по знаку:

Совершенно аналогично прежнему, будем иметь формулы

Верхние знаки соответствуют значениям а нижние значениям Выбор значений в этих формулах совершенно аналогичен предыдущему, только вместо а везде нужно ставить

Решение получается в результате наложения двух решений: одного решения плоской задачи, имеющего вид поперечной волны:

и одного решения в виде плоско поляризованной волны

Окончательные формулы будут иметь вид:

В формулах (72), (73) и (74) верхние знаки опять соответствуют значениям а нижние значениям

Наконец, решение как и предыдущее, опять представляется как результат наложения системы двух решений: одного решения плоской задачи в виде поперечной волны:

и одного плооко поляризованного решения:

Окончательные формулы будут иметь вид:

Здесь опять при нужно брать верхние знаки, а при нижние.

Проверка этих формул не представляет никакого труда, так как все они получаются сразу из формул (53) заменой а на

Мы привели здесь только окончательный результат и не останавливались юдробно на анализе способа его получения.

В специальной литературе по этому вопросу (см. приложение) читатель аайдет методы, с помощью которых можно по заданному правильному разрывному эешению в трех измерениях найти двухмерные решения, наложением которых можно получить данное.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление