Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Дифференциальные уравнения траекторий

1. Траектории материальной точки в плоскости.

Если мы представим движение материальной точки массы в прямоугольных координатах х, у на плоскости, то уравнения движения Ньютона получат вид:

где являются заданными функциями от х, у и представляют прямоугольные составляющие силы, действующей на Если, как в § 2 (33), мы введем параметр , изменяющийся вдоль траектории, то и аналогично для у. Для живой силы К мы при этом получим:

Если помножить уравнения (1) на и вычесть, причем х и у заменить их значениями, то мы получим, выражая через К:

Если же первое из уравнений (1) помножить на х, а второе на у и сложить, то получим

Если положить:

то, на основании известной формулы дифференциальной геометрии, будет представлять обратное значение радиуса кривизны траектории, а составляющую силы, перпендикулярную к касательной к траектории. В таком случае уравнение (2) можно написать в более простой форме:

Если мы представим скорость в виде касательную составляющую силы определим формулой выразим с помощью соотношения и вставим в выражения (3) и то мы получим обычный вид уравнений движения с "естественным" разложением на касательную и нормальную составляющие:

Если к (2) [или (5)] и (3) присоединить еще дифференциальное уравнение, определяющее параметр и, например, (причем и в этом случае означало бы длину дуги траектории), то мы получим три совокупные дифференциальные уравнения для трех функций х, у, К параметра и. При этом х, у определяют геометрическую форму траектории, а - зависимость движения от времени.

Высшие производные, входящие в уравнения, будут если мы решим уравнения относительно них, то мы увидим, что при заданном значении и значения х, у, К, иначе говоря, направление траектории и живая сила могут быть заданы произвольно. Если исключить К из (3) и (5), то мы получим дифференциальные уравнения, в которые входят только х, у и их производные по

Вместе с уравнением для параметра, мы имеем теперь систему двух уравнений относительно как функций от и. Из (4) следует, что в (6) входят производные от х и у до третьего порядка. Из (5) следует, что при увеличении К траектории приближаются все больше к прямым а при уменьшении силовым линиям

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление