Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Формула Грина для волнового уравнения.

Формула Грина для четырех переменных не содержит ничего нового по сравнению со случаем трех неременных но так как здесь могут представиться некоторые трудности, связанные с рядом новых геометрических понятий, то мы остановимся на этом подробнее.

Рассмотрим какую-нибудь область в пространстве четырех неременных ограниченную некоторой трехмерной совокупностью, которую мы будем называть гиперповерхностью.

Пусть внутренние точки области определяются неравенством:

и уравнение гиперповерхности имеет вид:

Назовем направляющими косинусами внутренней нормали в четырехмерном пространстве величины:

Будем называть элементом гиперповерхности и обозначать через выражение, определяемое одним из следующих равенств:

где x, у, z, t связаны зависимостью (4).

Нетрудно видеть, что все эти определения, вообще говоря, эквивалентны, если только знаменатели у них не обращаются в нуль.

Действительно, если считать за независимые переменные сначала, например, х, у, z, а затем перейти к переменным то очевидно:

откуда

или

что и доказывает наше утверждение.

Рассмотрим теперь интеграл, взятый но гиперповерхности

и преобразуем его в четырехкратный интеграл, взятый но области 9. Преобразуем, например, интеграл:

Если подставить вместо его выражение, то этот интеграл разобьется на два отдельных слагаемых в зависимости от знака Мы получим, таким образом:

где та часть поверхности, для которой внутренние точки объема , близкие в ней, имеют координату большую, чем в точках поверхности, стремящуюся к своему значению на поверхности, остальная часть. Таким образом, на прямых для интегралов, соответствующих внутренним точкам , точки служат нижней границей, а точки верхней границей.

Замечая теперь, что

и выражая разности интегралов но и через интеграл от производной, получим:

Проводя то же рассуждение для остальных слагаемых, получим окончательно следующую формулу:

Эта формула обычно и называется формулой Грина.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление