Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

8. Анализ полученных результатов.

Все физические следствия, подученные нами для двухмерной задачи из формул (66) § 4, могут быть выведены и для трехмерной задачи формул (35) предыдущего пункта.

Ввиду того что результаты эти являются совершенно аналогичными, мы не будем останавливаться на выводе, а отметим только основные результаты.

В качестве первого следствия можно отметить строгую теорию волн Рэлея. Оказывается, что если в начальный момент времени мы имеем покой и вынуждающие силы действуют только на ограниченном - участке втеченне конечного промежутка времени то от возмущенного места будут распространяться волны Рэлея, изученные нами в прошлом параграфе. Формулы (35) позволяют дать конечное выражение для составляющих смещения в этих волнах.

Ввиду того что здесъ, очевидно, энергия рассеивается по поверхности а не в пространстве, затухание этих волн будет меньше, чем затухание обычных продольных и поперечных волн.

Это подтверждается как формулами (35), так и непосредственными данными опыта.

В случае, когда мы имэем дело с неограниченным пространством, формулы (35) могут быть упрощены.

С этой целью нужно выполнить фактически дифференцирование в правых частях этих формул.

Не останавливаясь на выкладках, укажем здесь окончательный результат для того случая, когда массовые силы отсутствуют.

Окончательный результат имеет вид:

где через и обозначены составляющие векторов по направлению вектора соединяющего точку с точкой

Две другие составляющие вектора смещения выражаются совершенно аналогично.

Формула (36) вместе с аналогичными выражениями для называются обычно формулами Стокса. Из этих формул вытекает ряд простых физических следствий.

Допустим, как и при исследовании волнового уравнения, что начальные условия содержат в правых частах функции, которые отличны от нуля только в ограниченной области Тогда в данной точке моментом вступления возмущения будет

в промежутке

в данной точке будут происходить продольные колебания.

В этом промежутке переменная сфера будет проходить через возмущенную область. Если

то в промежутке

вектор смещения будет выражаться объемным интегралои, ввятым по области Не трудно убедиться, что при этом он будет представлять собой некоторый

лапласов вектор, зависящий линейно от времени. Колебание нельзя при этом считать ни продольным, ни поперечным. Далее при

в данной точке будет иметь место поперечное колебание. При

мы получим покой.

Формула, аналогичная (86) с массовыми силами, позволяет, как и в плоском случае, развить строгую теорию точечных источников и разрешить задачу Лэмба о действии сосредоточенной силы на поверхности среды. Читатель, желающий ознакомиться с этим вопросом подробнее, найдет все интересующие его сведения в специальной литературе по данному вопросу.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление