Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 7. Обобщение решения волнового уравнения

1. Разрывные решения волнового уравнения.

В § 2 настоящей главы мы уже видели, что как физическая, так и математическая сторона колебательных явлений сплошь и рядом требуют введения решений волнового уравнения, имеющих определенные разрывы первых производным.

Оказывается, что и такого рода решения не могут удовлетворить всем предъявляемым требованиям. В целом классе задач, к которым нам необходимо будет перейти, нужно будет допустить существование разрывов не только у первых производных, но и у самих неизвестных функций. При этом мы иногда будем вводить даже неограниченные решения.

Частично мы уже имели дело с такого рода решениями, когда рассматривали задачу об отражении упругих волн, вызванных мгновенным импульсом в двух измерениях. При решении этой задачи, мы накладывали на потенциалы кинематические и динамические условия совместности. Смещения же, вычисленные для этой задачи, были неограниченными и терпели разрывы на поверхностях характеристик.

Простейшим типом решений волнового уравнения, обладающих такими свойствами, являются, например, плоские волны.

Рассмотрим решения волнового уравнения:

имеющие вид:

где

Мы знаем, что если функция имеет непрерывные вторые производные, то и удовлетворяет волновому уравнению (1). Если эти вторые производные или даже первые терпят разрывы в изолированных точках, то и терпит разрывы на изолированных поверхностях и удовлетворяет кинематическим и динамическим условиям совместности.

Совершенно естественно далее рассматривать и такие плоские волны, в которых функция сама терпит разрывы. С формальной точки зрения эти решения столь же удовлетворительны, как и всякие другие, и очевидно, что их можно также считать пределом некоторой последовательности непрерывных решений. Кроме этого, дальше мы убедимся, что пользование такими решениями

вносит значительные упрощения при рассмотрении некоторых конкретных задач.

Задачей настоящего параграфа будет дать некоторое обобщение понятия о решении волнового уравнения. Для простоты мы будем рассматривать волновое уравнение с тремя переменными, но все наши результаты будут справедливы для любого числа измерений.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление