Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6. Обобщенные комплексные решения во всей области существования.

Очевидно, что во внутренности основного конуса всякое комплексное решение имеет все производные и, следовательно, является решением волнового уравнения (1), даже в обычном смысле этого слова. Мы только что выяснили, что эти решения будут обобщенными решениями во внешности этого конуса. Для того чтобы исчерпать анализ, остается рассмотреть, какие, условия должны быть выполнены при приближении в поверхности конуса для того, чтобы наше решение было решением и во всем пространстве.

С этой целью падо выяснить, при каких условиях уничтожаются интегралы (3), взятые по области, часть которой принадлежит внутренности (15), а часть его внешности.

Ранки настоящей статьи не позволяют останавливаться на тонких вопросах предельного перехода, который необходимо произвести для изучение вопроса, и поэтому мы укажем вкратце лишь основные результаты.

Пусть функция комплексного переменного (или соответственно определенная и регулярная в круге единичного радиуса, имеет на окружности, этого круга суммируемые предельные значения. Определим решение волнового уравнения внутри конуса (15) с цомощью формулы;

где

или соответственно

а во внешности этого конуса — с помощью формулы:

или

Тогда функция и будет обобщенным решением волнового уравнения во всей пространстве при условии, если принадлежит к так называемому классу по классификации, предложенной Ритцом.

Точное определение этого класса следующее. Функция называется принадлежащей к классу Ритца, если интегралы

то есть интегралы от абсолютного значения функции, взятые по концентрическим кругам с центром в начале, равномерно ограничены для всех меньших единицы.

Для пашей цели достаточно укаватъ несколько простых категорий функций, принадлежащих к этому классу. Пусть функция регулярна всюду внутри круга и имеет на его окружности лишь конечное число особых точек.

Допустим, что все эти точки являются просто точками разветвления конечного или логарифмического порядка.

Если в окрестности каждой точки разветвления функция разлагается в ряд вида:

где конечные числа,

то она принадлежит классу Н Ритца.

Мы ограничились здесь разбором случая однородных комплексных решений, однако, паши результаты почти без всяких оговорок могут быть перенесены на общий случай комплексных решений. Предоставляем это сделать читателю.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление