Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Диффракция произвольной плоской волны.

С помощью элементарной плоской волны очень легко выражается произвольная волна.

Введем разрывную функцию от переменного определенную равенствами;

Произвольная абсолютно непрерывная функция подчиненная одному условию:

имеет очевидное представление:

Действительно, интеграл в правой части (27) сводится просто к

С помощью формулы (27), мы можем (шести произвольную плоскую волну, представляемую формулой:

к сумме элементарных. Действительно, в силу (27)

Каждое слагаемое типа:

представляет, очевидно, элементарную плоскую волну. Формула (28) решает поставленный вопрос.

С помощью функции мы можем записать функцию определенную соотношением (19), следующим образом:

Благодаря этим соображениям, задача о днффракции волны общего вида решается с помощью интегрирования элементарных решений. Задача эта формулируется следующим образом.

Требуется найти решение волнового уравнения, имеющее при вид плоской волны и заданное соотношением:

где

Решение этой задачи легко написать непосредственно

Действительно, по теореме интегрирования формула (31) дает обобщенное решение волнового уравнения на логарифмической поверхности, удовлетворяющее условиям (30) при

Следует отметить одно принципиальное обстоятельство, на выяснении которого мы здесь не можем останавливаться. Решение задачи, даваемое формулой (31), не является единственным, если не принять во внимание некоторых ограничений, накладываемых на возможные решения физической сущностью задачи. Мы уже встречались с этим вопросом, при определении разветвляющихся решений. Однако, если учесть эти добавочные условия, то решение (31) единственное, которое им отвечает.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление