Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Принцип Ферма и световые лучи.

При переходе к произвольной среде мы должны вместо постоянной скорости света рассматривать более общую зависимость, выражаемую уравнением (1). Функция определена только для таких значений которые удовлетворяют условию: Мы примем, что функция задана в виде аналитического выражения, обладающего частными производными по своим аргументам. Мы увидим, что в этом случае любой зависимости функции от световые лучи не будут перпендикулярны к волновой поверхности и мы уже не имеем прав? считать, что они прямолинейны.

Элементу волновой поверхности, содержащему точку мы сопоставим единичный векюр нормальный к этому элементу поверхности.

Тогда волновая скорость будет равна проекции лучевой скорости на направление Следовательно, если есть направление лучей, то для мы получаем соотношение:

Предположение о прямолинейности лучей света уступает место принципу Ферма, согласно которому лучи распространяются таким образом, что световое возмущение попадает из какой-нибудь точки в другую точку лежащую в направлении распространения луча, в течение кратчайшего из возможпых промежутков времени. Если элемент пути луча обозначить через для прохождения этого расстояния свет будет затрачивать время, равное Обычно, вместо этого времени вводится ход луча, т. е. произведение постоянной с, представляющей собою скорость света в пустоте, на время, которое необходимо для того, чтобы свет успел распространиться от точки к точке Для хода луча мы получаем выражение:

где через обозначен коэффициент преломления среды,

Мы можем задать каждую кривую, представляя а следовательно и как функции некоторого параметра .

Вводя для производных этих величин обозначения:

мы получим

и

причем

Так как , согласно (17), имеет нулевой порядок однородности относительно то функция определяемая формулой (19), представляет собою однородную функцию первого порядка относительно Следовательно

Мы можем представить это уравнение в векторной форме при помощи символического вектора Так как зависит от двух векторов то этот оператор можно выразить как через компоненты так и черев компоненты В последующем изложении мы всегда будем обозначать символом оператор, применение которого означает дифференцирование но составляющим вектора а. Так например, есть вектор с составляющими вектор с составляющими Таким образом мы можем переписать уравнение (20) в следующем виде:

Так как выражение очевидно имеет нулевой порядок однородности относительно x, y, z, то его можно выразить при помощи единичного вектора мы запишем это в виде соотношения

Если функцию выразить черев при помощи формулы (19), то функцию можно найти в явном виде.

Именно, дифференцируя по мы получим:

так как, согласно (17),

то, произведя подстановку, мы будем иметь:

или наконец в векторной форме

С помощью этой формулы каждому вектору в рассматриваемой среде можно привести в соответствие вектор

Для этих векторов, согласно (23), мы получаем следующее соотношение

Если в частности есть единичный вектор, то

что непосредственно вытекает также из (21).

Если для световых лучей интеграл (18) обращается в минимум, как требует принцип Ферма, то, как известно из вариационного исчисления, лучи должны удовлетворять дифференциальным уравнениям Эйлера.

Эти уравнения в применении к световым лучам принимают вид:

Если мы хотим представить эти уравнения в векторной форме, то лучше всего воспользоваться вектором соответствующим единичному вектору и определяемым уравнением (23). Выражая через при помощи уравнения (19), мы получим из (26) и (22), принимая во внимание (17), уравнение светового луча — в следующем виде:

Операция дифференцирования в первом члене здесь означает производную по элементу дуги искомой кривой. Мы припишем каждой точке пространства единичный вектор при помощи соотношения Благодаря этому все пространство окажется заполненным семейством или конгруэнцией кривых. На основании соотношения каждая функция может быть преобразовала в функцию, зависящую только от которую мы обозначим через Например

Таким образом, каждое поле единичного вектора определяет поле соответствующего векторар С его помощью уравнение светового луча (27) может быть представлено также в виде:

Уравнение (29) представляет собою целую конгруэнцию лучей и в рассматриваемой случае заменяет уравнения (2) и (3), имеющие место в случае однородных изотропных тел.

Если левую часть уравнения (29) обозначить через к, то семейству кривых будет соответствовать векторное поле к которое в каждой точке пространства, аналогично (6), определяет "вектор кривизны" кривой "в отношении световых лучей в среде, характеризуемой показателем преломления при этом сами световые лучи изображаются кривыми с исчезающе малой кривизной Можно наглядно представить поле к если вместо подставить его значение из (25). Подставляя в это уравнение вместо произвольно выбранное семейство кривых мы получим:

Применим теперь к обеим частям уравнения (30) оператор При атом, согласно уравнению (28), мы должны принять во внимание, что величины содержат переменную как явно, так и неявно (вследствие зависимости единичного вектора от ). Найдем составляющую вектора в направлении оси

или в векторной форме

Применяя оператор V,» нужно помнить, что от зависит только в, а не V Произведя простое векторное преобразование правой части уравнения (32), мы получим 4

При этом применена формула а в которой векторы а, заменены величинами и символическим вектором

Для вычисления служит векторная формула (За), в которой заменены через Таким образом, мы получаем:

Из равенства (30) вытекает, что правые части уравнений (33) и (34) должны быть равны. Если, кроме того, вместо подставить его выражение, вытекающее из (23) и (28), и принять во внимание (4), то мы найдем, что

Полученное соотношение справедливо для всякой конгруэнции кривых, заданной при помощи поля единичных векторов, а также для сопряженного с ней по уравнению (23) векторного поля, соответствующего среде с коэффициентом преломления Поэтому вектор кривизны к кривых поля по отношению к световым лучам в рассматриваемой среде определяется соотношением:

Если это выражение обращается в нуль, то конгруэнция кривых представляет световые лучи. Таким образом, уравнение (36) при есть дифференциальное уравнение семейства световых лучей, зависящего от двух параметров.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление