Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ И ДИФФУЗИЯ

ГЛАВА XIII. СВОБОДНЫЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ И ДИФФУЗИЯ

§ 1. Основные понятия и дифференциальные уравнения

1. Основные понятия теплопроводности в твердых телах.

Учение теплопроводности исходит из опытного факта, что при касании двух тел различных температур или при наличии разности температур между различными частями одного и того же тела происходит выравнивание температур со временем и притом всегда так, что более теплое тело охлаждается, а более холодное — нагревается.

Естественно истолковать эти явления так, что "тепло" принимается за некоторого рода жидкость, которая, находясь в теле, повышает его температуру и стремится притом течь от мест с высокой к местам с низкой температурой. Мы принимаем в настоящее время, что тепло не является материей в узком смысле слова, но есть некоторая форма энергии, могущая возникать при известных обстоятельствах других форм энергии и обратно в них превращаться. Кинетическая теория тепла утверждает, что тепловая энергия есть не что иное как кинетическая энергия беспорядочного движения мельчайших частиц материи — молекул, атомов, электронов. Здесь мы будем останавливаться на этом специальном представлении лишь в некоторых случаях; в общем мы используем исключительно тот факт, что тепло есть форма энергии, количество которой можно измерять в механических единицах — эргах.

При сообщении тепловой энергии некоторому телу массы его температура повышается согласно следующему опытному закону:

где обозначает сообщаемое количество тепла, повышение температуры, а о есть величина, характерная для вещества тела; она называется теплоемкостью или удельной теплотой. Теплоемкость, вообще говоря, есть некоторая функция температуры и давления. Зависимость от давления для твердых тел, о которых здесь идет речь, настолько мала, что ею можно пренебрегать, напротив, зависимость от температуры иногда значительна. На практике, однако, для небольших разностей температур, обыкновенно достаточно предположение о постоянстве о.

На основе (1) количество тепла можно измерять также в тепловых единицах с таким количеством тепла в качестве единицы, называемой калория, которое повышает температуру единицы массы некоторого основного вещества воды) на единицу. Эрг и калория связаны между собою посредством некоторого постоянного переводного числа — механического эквивалента тепла.

Из ряда опытов для потока тепла черев твердое тело получился следующий эмпирический закон. Представим себе в однородной среде пластиику, размеры которой велики по сравнению с ее толщиной, и будем поддерживать

(например, посредством тающего льда и кипящей воды) обе параллельные грани при постоянных, но неравных температурах; тогда со временем устанавливается стационарное состояние, при котором черев пластинку от нагретой 1 к холодной поверхности течет постоянный тепловой поток определенной интенсивности, который можно определить из количества льда, растаявшего в единицу времени, или из количества конденсированного пара.

Под "тепловым потоком" мы понимаем количество тепла, протекающее в одну секунду через грань пластинки. Обозначим черев А толщину пластинки, через площадь, через время и черев обе постоянные температуры; тогда имеем следующее эмпирическое соотношение:

Величина к называется внутренней теплопроводностью вещества, она в первом приближении есть материальная постоянная, точнее — некоторая функция температуры. Чтобы не очень усложнять наши вадачи, мы в дальнейшем будем считать постоянным. Смотря по величине к, мы называем тела хорошими или плохими проводниками тепла.

Обобщим теперь задачу на случай произвольного тела. Представим себе, что в какой-либо точке тела проведен элемент поверхности и параллельно ему на расстоянии другой, равный по величине. Разность температур между этими поверхностями обозначим черев

Полагаем, что тепловой поток в малом цилиндре в течение очень малого времени подчиняется предельному случаю вакона (2) в виде:

где знак минус поставлен потому, что тепловой поток имеет направление убывающих и. Теперь можно ввести вектор плотность теплового потока, величина которого равна и записать (3) в векторной форме:

При этом , вообще говоря, может быть как функцией места, так и направления вектора О, по отношению к какой-либо твердо связанной с телом системе координат. есть полное количество тепла, протекающее в направлении в единицу времени черев единицу поверхности.

Если две однородных среды с различными тенлопроводностями и касаются друг друга вдоль некоторой поверхности, то для нее необходимо ввести некоторые специальные предположения касательно передачи тепла. Мы предположим, что при переходе от одного тела к другому температура не претерпевает скачка, так что всегда

Далее, физически, очевидно, что в силу отсутствия для теплового потока поверхностных источников или стоков на границе должно быть:

т. е. градиент температуры на границе двух различных средин претерпевает разрыв.

Мы должны, наконец, знать закономерности, имеющие место для теплового потока черев "поверхность" тела. Понятие "поверхность" несколько неопределенно, так как каждую поверхность можно понимать как границу двух тел, кроме разве случая границы с "абсолютной пустотой". Во многих случаях однако, например, на границе с воздухом или другим газом, теплопроводность внешней среды так незначительна, что мы можем пренебречь тепловым потоком теплопроводности. Тогда теплообмен между поверхностью тела и окружающей средой происходит, во-первых, путем теплового излучения, во-вторых, путем конвекции вследствие течения окружающей жидкости или газа. Истинный закон этого процесса очень сложен и сильно изменяется от случая к случаю. Поэтому для аналитического рассмотрения пользуются грубым приближением, называемым законом охлаждения Ньютона: если температура поверхности тела и, температура окружающей среды далее элемент внешней поверхности, то тепловой поток перпендикулярно к за время равен:

где есть зависящая от обстоятельств постоянная, — так называемая внешняя теплопроводность. Закон (7) справедлив только с ограниченной точностью, величина определена весьма неточно. Ниже мы увидим, что при некоторых определенных предположениях закон Ньютона допускает точное обоснование.

Из непрерывности теплового потока на поверхности следует окончательное условие на поверхности:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление