Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Теплопроводность и диффузия в неограниченных телах

1. Тело, бесконечно протяженное в одном измерении. Общее решение.

В этом параграфе мы предполагаем, что о постоянны и Тело однородно, изотропно и неограниченно по всем направлениям, но предполагается, что и зависит только от одной координаты х. Ниже мы покажем, что подобной зависимости от одной координаты можно действительно добиться подходящим выбором начальных условий. Уравнение (13) сводится теперь к

Наша задача — найти решение этого дифференциального уравнения, удовлетворяющее условиям: при и равняется заданной функции и для всех позднейших времен функция и во всем пространстве конечна, непрерывна и непрерывно-дифференцируема.

Ищем частное решение, как произведение функции только от х на функцию только от

Подставляя в уравнение (1), получим или Здесь в левой части стоит функция только от в правой — функция только от х. Поэтому уравнение может иметь место для всех, значений только тогда, когда обе части равны одной и той же постоянной а. Отсюда следует или Положив получим для X дифференциальное уравнение Оно имеет частные интегралы Функции для всех и всех х только тогда конечны, если а вещественно и отрицательно, следовательно, вещественно и положительно. Согласно (2), мы получаем два решения Здесь X — произвольное вещественное число, считаемое нами положительным, произвольные величины,

которые мы считаем функциями от Так как суммирование любого числа этих частных решений дает всегда новое решение, то, интегрируя по X, мы получим решение:

зависящее от двух произвольных функций Посмотрим, можно ли выбрать их так, что будет выполнено начальное условие и при Согласно интегральной теореме Фурье, функция удовлетворяющая внутри конечного интервала условиям Дирихле и исчезающая вне его, может быть представлена в следующем виде:

При из (3) получаем:

Разлагая косинус в (4) и сравнивая (4) и (5), имеем:

и после подстановки в (3):

откуда при в силу (4), следует

Переставим теперь порядок интегрирования в (6); тогда

Интегрирование по X можно выполнить, что дает:

так что для и мы получим:

В том, что (7) представляет решение нашей задачи, можно убедиться и непосредственно. Функция для любого а есть частный интеграл уравнения (1), в чем убеждаемся подстановкой.

Чтобы доказать, что при и сводится к вводим в (7) новую переменную Это даст

при

Решение (7) допускает весьма наглядное физическое толкование на основе следующих соображений.

Рассмотрим частный интеграл

нашего дифференциального уравнения (1) где у означает пока произвольную постоянную. При эта формула дает и везде за исключением точки Это соответствует, следовательно, начальному условию, что во всем пространстве господствует равная нулю температура, за исключением области, непосредственно окружующей плоскость В бескодечности и исчезает для всех времен.

Если вычислить полное количество тепла, которое в некоторый момент находится в цилиндре с сечением 1, простирающемся в бесконечность в обе стороны параллельно оси х, то, согласно § 1, найдем:

где интеграл находится с помощью примененной выше подстановки Количество содержащегося в теле тепла при нуле температуры положено равным нулю.

Итак не зависит от времени, т. е. полное количество тепла сохраняет свое (конечное) значение; в момент нуль оно сжато в бесконечно узкой полосе, распространяется затем путем теплопроводности по всей бесконечной области и для бесконечно большого времени бесконечно разрежается. Величина играет, следовательно, в формуле роль произведения объема узкой полосы на начальную температуру в точке а. Для одного только "источника", создающего тепловой поток, т. е. узкого слоя температуры и ширины объему) вследствие соотношения температура в какой-либо точке х в какой-либо момент согласно (9), представляется выражением:

Если в каждой точке а находится "источник" и как и выше, есть функция распределения температуры в момент то поток создается как бы действием многих единичных изолированных независимых друг от друга источников, и есть сумма всех этих потоков. Тогда выражение (7) можно назвать интегралом по источникам теплового потока, или короче, интегралом по источникам дифференциального уравнения (1). Это толкование мы будем употреблять и ниже.

Вышеупомянутые формулы, согласно § 1,4, где нами установлено формальное тождество между дифференциальными уравнениями диффузии и теплопроводности, дают одновременно решения аналогичной диффузионной задачи, воли заменить количество тепла количеством вещества, а температуру — концентрацией.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление