Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Примеры.

Рассмотрим ряд простых примеров.

В качестве первого примера рассмотрим следующее распределение температур (или концентраций) при всюду за исключением слоя между где и постоянно и равно, например, 1. Это обозначает, что - для для

Рис. 59.

Подставляя эти вначения в (8), замечая, что подинтегральная величина отличается от нуля только между пределами и вычисляя отсюда пределы для С, получим из (8):

где через обозначен интеграл Гаусса

Непосредственно видно, что и удовлетворяет начальным условиям и исчезает везде при так как конечное количество тепла распространяется по бесконечной области. На рис. 59 представлена температура как функция х в различные моменты времени.

В качестве второго примера рассмотрим такое начальное распределение температуры, что для и для По формуле (8) получаем:

На рис. 60, представляющем распределение температуры для различных моментов времени, видно, как тепло течет из отрицательного в положительное полупространство. Заметим, что ни в одном месте положительного полупространства ни для какого времени температура не может быть выше

Этот пример дает одновременно аналитическое толкование основного опыта по диффузии. Возьмем два равных достаточно длинных цилиндрических сосуда с основаниями, совпадающими друг с другом, но разделенных перегородкой. Один цилиндр содержит чистый растворитель другой — раствор с концентрацией Удалим перегородку и через некоторое время снова поставим ее на место. Согласно (12), растворенное вещество будет диффундировать из 1-го цилиндра во Чтобы определить количество перешедшего вещества, заметим, что, согласно § 1, (19), за время через открытую перегородку проходит количество вещества где означает поперечнбе сечение цилиндра.

Рис. 60.

Подставляя сюда выражение (12) (для ), получим протекшее за время количество вещества:

Измеряя мы можем по этой формуле определить коэффициент диффузии

Вернемся теперь к формуле (12) и посмотрим, с какою скоростью распространяется некоторая температура в положительном полупространстве. Бели обозначить через то искомую скорость мы найдем, положив в и разрешив уравнение относительно х. Мы получаем:

где означает функцию, обратную Поэтому искомая скорость равна:

Мы замечаем, что для каждой температуры скорость распространения непрерывно уменьшается со временем, иди, соответственно, с удалением от температурной границы, и в первый момент бесконечно велика; что, далее, скорость

тем больше, чем более низкие температуры мы рассматриваем. Следовательно, о скорости распространения теплоты в обычном смысле слов нельзя говорить, так как в течение сколь угодно короткого промежутка времени, начиная от температура изменится на сколь угодно большом расстоянии от

Замечательно, далее, что для температура для всех времен сохраняет постоянное значение Мы используем это обстоятельство позже при разборе другой задачи, в которой требуется сохранение в определенном месте заданной температуры.

Формула (14) позволяет, наблюдая проникновение температуры, определить величину а, или "аналогично в диффузионной задаче определить в тех случаях, когда подобное проникновение можно сделать заметным каким-либо простым способом.

В первом случае исследуемое вещество в форме длинного стержня докрывается тонким слоем легкоплавкого вещества (парафина) и наблюдается распространение границы плавления, или окрашивается краской, меняющей цвет с превышением некоторой определенной температуры, и наблюдается распространение границы двух красок, причем мы пренебрегаем внешней теплопроводностью. Позднее эта задача будет рассмотрена точнее.

В случае диффузии можно наблюдать распространение определенной концентрации, например, для кислотных или основных растворов, для его надо добавить в раствор цветной индикатор, меняющий свою окраску при некоторой определенной концентрации основания или кислоты.

Третий более общий пример мы получим, если откажемся от однородности вещества и допустим, что а меняется с местом. Некоторое обобщение выше рассмотренного представляет собою случай, допускающий простое рассмотрение, а именно случай тела, составленного из двух однородных частей, соприкасающихся по плоскости Эти части можно охарактеризовать температуропроводностями так что при имеем температуропроводность при Кроме того, пусть при температуры обеих частей постоянны и равны соответственно Ищем распределение температуры в теле в какой-либо позднейший момент времени и для любого места. При имеет место дифференциальное уравнение:

а при

В точке по § 1, (5) и (6), имеют место граничные условия:

Попытаемся решить задачу посредством искусственного приема, предполагая, что первое вещество занимает все пространство и задано начальное распределение температуры: при при где некоторая еще не определенная постоянная. Аналогичное допущение делаем и для второго вещества. Мы получим два решения, первое из которых соответствует начальному условию: при при второе — условию: при и при Оба решения получаются из (8).

Постоянные определяются, если потребовать, чтобы оба решения при удовлетворяли условиям (17). По (8) имеем тогда:

и

Обозначим общую температуру поверхности соприкосновения через тогда, иодвтавляя в (17), получим:

следовательно:

и

Если теперь положить для для то легко убедиться, что действительно удовлетворяет нашим начальным и граничным условиям (17) и является решением дифференциального уравнения (16). На поверхности соприкосновения господствует постоянная температура которая через бесконечно долгое время устанавливается во всем пространстве. Дальнейшее интересное применение наших общих соображений дано Фурье и сводится к следующему: мы предполагаем опять, как в примере 1, начальную температуру равной нулю везде, за исключением очень узкой полосы, окружающей в которой температура так велика, что произведение температуры и ширины полосы (интенсивность источника тепла) равна 1. В таком случае, согласно (9) (для ):

Будем наблюдать температуру в некоторой определенной точке в ее зависимости от В момент в этой точке во всяком случае то же будет и при так как конечное количество тепла рассеивается по бесконечной области. Поэтому, в некоторый конечный момент времени температура в

достигает максимума. Мы найдем этот момент времени если положим в Последнее дает:

откуда следует

Формула (21) может быть использована для определения а по вышеизложенному методу, как это, в частности, уже с успехом выполнено в аналогичной задаче диффузии, а именно для растворов электролитов в воде, причем соответствующий раствор в начале опыта расположен в виде очень тонкого слоя на дне наполненного водою сосуда, а изменение концентрации в заданном месте исследуется посредством измерения электродвижущей силы у находящегося в данном месте электрода.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление