Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Примеры.

В качестве частного случая 1 примем координату х за параметр и. В таком случае параметрическое уравнение, прибавляющееся к (3) и (5), имеет вид следовательно, формулам (4) мы имеем в этом случае:

Вставляя эти значения в уравнение (6), мы получимдифференциальное уравнение траектории:

Выполнение дифференцирования дает:

Мы получили дифференциальное уравнение 3-го порядка для у как функции от х. Следовательно, в плоскости имеется траекторий. В частности, если мы имеем дело с однородным полем тяжести и выберем вертикальную плоскость в качестве плоскости то где — постоянное ускорение тяготения. В этом случае в и уравнение траекторий имеет вид: его общее решение есть где — произвольные постоянные. Это есть уравнение всех парабол с вертикальной осью. Согласно (3), только те из них могут действительно проходиться точкой, для которых откуда следует следовательно, эти параболы должны быть обращены выпуклостью вверх.

Если мы возьмем теперь прямоугольные координаты в пространстве х, у, и выберем в качестве параметра и длину дуги, так что то, согласно (8), для получаются значения Но это — составляющие вектора, длина которого равна обратному значению радиуса кривизны, а направление совпадает с главной нормалью траектории.

В качестве дальнейшего примера рассмотрим центральное движение в скости, причем примем полярные координаты

Воспользуемся уравнениями (10), (11). Пусть Пусть, далее, сила действует только по радиусу, т. е.

В качестве параметра возьмем следовательно, В таком случае поэтому, согласно формулам (7), (8) и (9):

По формуле (10) мы можем теперь вычислить так как по уравнению исключая из обоих последних уравнений, мы получим после короткого вычисления:

Это дифференциальное уравнение 3-го порядка для как функции от Из уравнения (18) следует:

где - произвольная постоянная. Если мы введем вместо обычно употребляемую составляющую силы В, соответствующую координате которая, согласно § 2 (4), связана с соотношением то, приняв во внимание равенство — мы получим из (19)

Для того чтобы система действительно могла пройти траекторию, необходимо, чтобы следовательно, в уравнении так как в этом случае если предположить, что

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление