Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Тела, бесконечно протяженные в двух измерениях.

И здесь мы сделаем предположение, что рассматриваемое тело однородно, изотропно и что нет источников тепла. Тело должно бесконечно простираться по всем направлениям, но температура должна зависеть лишь от двух прямоугольных координат х и у и не зависеть от Это можно осуществить, предположив, что начальное распределение одинаково во всех плоскостях, перпендикулярных к оси в, или если пренебрегать внешней теплопроводностью, взяв очень тонкую пластинку больших размеров.

Дифференциальное уравнение теплопроводности в этом случае имеет вид

Мы ищем частное решение этого дифференциального уравнения в виде произведения двух функций где есть функция только времени, а - функция расстояния Тогда

и, после подстановки в (24), для получается дифференциальное уравнение, имеющее, как и в 1, решение Для В получаем дифференциальное уравнение:

Вводя здесь вместо переменную приводим его к виду:

Это дифференциальное уравнение известно из теории функций Бесселя, его решение есть функция Бесселя нулевого порядка так что мы имеем:

Мы имеем, следовательно, частное решение (24):

где могут иметь любые значения. Так как дифференциальное уравнение однородно и линейно, то общее решение можно получить, рассматривая А как произвольную функцию от X и интегрируя по X по всем значениям от нуля до бесконечности:

Функция выбирается так, чтобы удовлетворить начальным условиям задачи. Это возможно лишь в том случае, когда и для и функция

только от Мы воспользуемся для этого предложением из теории функций Бесселя о представлении заданной функции посредством двойного интеграла по функциям Бесселя, аналогичном употребляемому в одномерном случав представлению Фурье. Это представление имеет вид:

Наше и приводится при к

Сравнивая с (30), получим для А (X):

Подставляя это в (29), получим окончательно для

Интегрирование по X, в отличие от одномерного случая, вообще говоря, не может быть выполнено. В одном частном случае решение можно получить сразу, именно когда везде равно нулю за исключением очень малой области около причем Тогда в (31) можно выполнить интегрирование по а к мы получаем:

в чем можно убедиться, подставив вместо функции разложение в степенной ряд и проитегрировав почленно. Дополнительно можем убедиться, что (32) есть частное решение (24).

Перенесем теперь начало координат в точку тогда

и частный интеграл (32) дает:

где В может еще быть любой функцией от Теперь из (33) можно получить общее решение для (24) ("интеграл по источникам"), если проинтегрировать по всей плоскости:

где функцию В опять следует выбрать соответственно начальным условиям.

Мы бросим еще краткий ввгляд на линии равной температуры, получающиеся при распространении тепла в большой пластинке (если пренебречь внешней теплопроводностью) — изотермы. В случае цилиндрически-симметричного начального распределения из соображений симметрии ясно, что изотермы в каждый данный момент суть круги с центрами на оси цилиндра, если, конечно, среда жзотроина.

Отбросим теперь предположение об изотропии среды и будем рассматривать пластинку, вырезанную, например, из кристалла так, что две главные термические оси (см. стр. 621) лежат в плоскости пластинки, или пластинку из дерева с волокнами, параллельными пластинке. Дифференциальное уравнение, отнесенное к главным осям, имеет при этом, согласно § 1 (11), вид:

Введем в качестве новых переменных величины тогда получим:

Но это дифференциальное уравнение для изотропного случая, и поэтому изотермические кривые в системе координат должны быть кругами с уравнением:

Это есть уравнение эллипса с главными осями, пропорциональными

На этом обстоятельстве основан метод определения главных ароводимостей кристалла. Из кристалла вырезается пластинка, как описано выше, и покрывается легкоплавким веществом, например, парафином. Затем в некоторую точку пластинки помещается острие накаленной проволоки и наблюдаются фигуры плавления парафина, представляющие собою изотермы температуры плавления; они представляют собой, вообще говоря, эллипсы, отношение осей которых дает отношение теплопроводностей кристалла.

Другой подобный же способ определения теплопроводности основан на применении пластинки, составленной из двух различных однородных материалов, смыкающихся по произвольной кривой. На этой кривой, по § 1, (5), (6), должны выполняться условия:

где обозначает направление нормали к кривой. Обозначим черев направление касательной к этой кривой, тогда по (35):

Дифференциальное уравнение изотермы имеет вид:

Следовательно, пропорционально косинусу угла а между нормалью к иэотерме и синусу этого угла. Поэтому

Пользуясь (35) и (36), получим:

т. е. изотермы на граничной кривой имеют излом, величина которого дает отношение теплопроводностей. Если другим способом измерена теплопроводность одного из веществ, то этим способом можно легко измерить теплопроводность другого.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление