Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5. Тела, бесконечно протяженные в трех измерениях.

Разберем теперь общий случай движения тепла в бесконечно протяженной среде, причем опять ограничимся рассмотрением однородных и изотропных тел. Анизотропный случай изучается без затруднений путем введения новых переменных по образцу 14.

Предположим, что и зависит только от расстояния точки наблюдения от начала координат (случай шаровой симметрии). Тогда дифференциальное уравнение § 1, (13) приводится к

Введем вместо и новую функцию тогда

что совпадает с дифференциальным уравнением (1) для линейного случая. Но принимает здесь только положительные значения и функция должна удовлетворять условию при Так как (9) есть частный интеграл (1), представляющий распространение тепла от точки по прямой, то мы знаем интеграл уравнения (40), а именно:

где произвольная постоянная. Отсюда, в силу получим интеграл (39):

Но это выражение бесконечно велико при следовательно, не удовлетворяет нашим условиям. Однако, если есть частный интеграл (40), то еотъ интеграл; следовательно, в нашем случае

есть решение уравнения (40), удовлетворяющее нашему требованию; вводя имеем:

как решение (39). В есть опять произвольная постоянная. Теперь моя вывести общий интеграл дифференциального уравнения § 1, (13), для чего несем начало координат в точку и введем

Мы можем умножить на произвольную функцию и проинтегрирова по всему пространству. В силу однородности и линейности дифференциально уравнения это будет опять интеграл. Обозначив элемент объема через получим общее решение в виде:

Обозначим через элемент поверхности единичной сферы с центром в точке , тогда Обозначим далее среднее значение функции сфере радиуса вокруг точки через

тогда из (43) получаем:

Этот интеграл можно упростить, введя новую переменную благодаря чему он переходит в

Это и содержит произвольную функцию и представляет поэтому общий интеграл § 1, (13). При он приводится к

Функция есть среднее значение функции но так как непрерывная функция точки, то . Стало быть, есть начальное состояние в момент и выражение (43) есть решение дифференциального уравнения § 1, (13) для произвольного начального состояния (следовательно, ото "интеграл но источникам" для трехмерного случая). В частном случае функции зависящей лишь от одной переменной мы можем выполнить интегрирование в (43) по пользуясь тем, что

и получим

Но это есть найденное раньше решение (7) для одномерного случая. Итак, мы видим, что в самом деле, как указывалось на стр. 624, подходящим выбором начальных условий — например, независимости от можно свести общую задачу к одномерной. Независимость эта на практике встречается часто. Точно также, если функция зависит только от двух переменных трехмерная задача сводится к изученной выше двумерной. Весьма важный частный случай общего решения (43) получается, если начальное условие обладает шаровой симметрией, т. е. есть функция только от Обозначим расстояние точки наблюдения от начала О через В, тогда расстояние Угол между назовем угол между плоскостью и некоторой основной плоскостью, проходящей через назовем Тогда

и после подстановки в (43):

Интегрирование по можно выполнить, и тогда для и получим:

Здесь определено только для положительных значений аргумента; мы можем для отрицательных значений положить тогда и превратится в

Это выражение отличается от одномерного случая (7) только тем, что вместо и стоит соответственно, вместо стоит что мы могли бы пфямо заключить из того обстоятельства, что всякое решение дифференциального уравнения (40) посредством подобного преобразования переходит в решение уравнения (39) для случая сферической симметрии. пример, иллюстрирующий изложенную задачу теплопроводности или диффузии, рассмотрим задачу, аналогичную рассмотренной выше. А именно, определим вид функции и от если в момент температура (или концентрация) исчезает во всем пространстве за исключением области в которой Вводя как новую переменную в (48), мы можем привести и к виду:

Это выражение построено аналогично соответствующему выражению (10) и определяется формулой (11).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление