Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6. Теплопроводность в цилиндре.

Мы рассмотрели до сих нор в этом параграфе задачи, зависящие только от одпой координаты. Перейдем теперь к рассмотрению теплопроводности или диффузии, сначала в цилиндрическом, а затем в шарообразном теле.

Полагаем, что рассматривается цилиндр бесконечной длины, и что температура — функция только от расстояния от оси цилиндра; тогда, как в § 2, 2, можно вязать частное решение вида:

где произвольные постоянные и обозначает функцию Бесселя порядка нуль. Теперь надо удовлетворить граничному условию, требующему, чтобы поверхность цилиндра удерживалась при постоянной температуре, равной, например, нулю, так. что при Следовательно, X должны быть такими, чтобы удовлетворялось трансцендентное уравнение Из теории функций Бесселя известно, что уравнение имеет бесчисленное множество вещественных и положительных корней, которые могут быть взяты из соответствующей таблицы. Обозначим их через тогда граничное условие выполнено, если Подставляя это в (27), умножая частное решение на произвольную постоянную и суммируя по от 1 до получим общее решение:

Но так как при вадано начальное условие то

Всякая функция (с известными ограничениями) разложима в подобный ряд.

Положим здесь тогда

где — корень выражается так:

Возвращаясь к переменной и принимая во внимание, что имеем:

здесь обозначает соответствующее -ому корню значение которое можно взять из таблицы или из чертежа. В силу (28), (29), получим окончательно искомое решение:

Если, например, т. е. везде постоянно, то интегрирование в (30) можно выполнить, так как тогда

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление