Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

10. Тепловые волны.

Из многочисленных применений найденного общего решения мы отметим простой частный случай, когда — периодическая функция времени. Положим:

Пусть начальная температура всюду равна нулю. Тогда формула (61) дает:

Предположим сперва, что от начала опыта протекло много времени и, следовательно, в интеграле (62) за нижнюю границу можно взять нуль. В этом случае интегрирование легко выполняется, если вместо подставить и взять вещественную часть результата. Это дает:

Дополняя показатель до полного квадрата и вынося свободный от а множитель из-под знака интеграла, получим:

Написав для сокращения разобьем интеграл (63) на два, а именно

от до и от у до . В первом интеграле вместо х введем новую переменную положив

тогда он перейдет в

Во втором интеграле вместо а введем новую переменную положив

тогда он перейдет в

Складывая оба выражения, получим:

Пользуясь тождеством , получим в (63) для степени перед знаком интеграла

и так как нужна только вещественная часть этого выражения, то

Это выражение, как известно, представляет собою бегущую гармоническую температурную волну со скоростью распространения амплитуда которой убывает с глубиной в геометрической прогрессии.

Это обстоятельство дает средство определять температуропроводность путем измерения скорости распространения гармонического температурного изменения от поверхности внутрь тела. Так, например, можно определить теплопроводность верхних слоев земли, которая подвергается действию периодически меняющейся температуры на поверхности. Для этого одновременно регистрируют температуру на поверхности земли и на некоторой глубине и величину а определяют по смещению фаз обоих периодов по формуле (64).

Явление распространения тепловой или диффузионной волны весьма сходно с распространением упругой волны, но, однако, глубоко отличается от этого последнего процесса. В то время как скорость распространения упругой волны зависит лишь от упругих свойств среды, из, (64) видно, что скорость распространения тепловой или, соответственно, диффузионной волны является еще функцией от частоты колебаний. Поэтому здесь нельвя, как в случае упругих волн, перейти к любой периодической функции путем замены этой функцией косинуса в (64), но надо иметь в виду, что отдельные гармонические волны, из которых состоит общая волна, ведут себя различным образом. Это

заставляет представлять в общей случае и как сукну некоторого чпсла выражений вида (64):

где обозначает часть, соответствующую отдельному составляющему колебанию, которую можно получить из (64), положив там есть амплитуда этого составляющего колебания.

На рис. 63 изображена температура и как функция х для ряда моментов времени. Здесь видно распространение колебаний со временем и их постепенное убывание.

Как уже упомянуто, полученный выше результат применим к задаче температурных изменений в верхних слоях вемли, поверхность которой подвергается приближенно периодическим изменениям температуры, причем здесь налагаются две простых периодичности — суточная и годовая.

Рис. 63.

Температурные колебания делаются незаметными, начиная с некоторой глубины, когда показатель достигает некоторого определенного значения Отсюда видно, что на большой глубине это будет иметь место для малых частот колебаний следовательно, на достаточной глубине останутся лишь очень медленные колебания, быстрые же изменения будут незаметны. Этим объясняется известное явление, заключающееся в том, что на определенной глубине под земной поверхностью заметны лишь годовые (но не суточные) колебания температуры (температура погребов), и что на еще больших глубинах господствует постоянная температура.

Молено теперь для случая (64) вычислить тепловой ноток через единицу площади внешней поверхности. Согласно формуле получим:

Тепловой поток, следовательно, имеет тот же самый период, как и температура внешней поверхности, но смещен относительно нее по фазе вперед на периода колебаний

Полное количество тенла, проходящее в тело за полупериод, по (65), равно

и следовательно, как непосредственно ясно, прямо пропорционально теплоемкости тела, и тем больше, чем меньше число колебаний, т. е. исчезающе мало в случае чрезвычайно быстрых колебаний. Решение (64) соответствует распределению температуры по истечении большого времени от начала опыта. Отсюда можно легко получить путем следующих соображений общее решение. Положим в тогда получим:

что можно понимать как начальное состояние. Однако, как в (54), мы предположим, что начальное состояние имеет вид поэтому к и, так же как и выше в 1, надо прибавить функцию их, удовлетворяющую начальному условию: при и равную все время нулю в точке

Такую функцию мы уже нашли и, пользуясь формулой (4), получим:

(67) выражается в замкнутом виде в вещественной форме, но и из этого выражения очевидно, что оно с ростом времени затухает и становится исчезающе малым для очень больших времен.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление