Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

11. Внешняя поверхность — изолятор.

Теперь рассмотрим задачу, играющую роль в различных физических и технических проблемах: проводящее тело с адиабатической, т. е. не пропускающей тепла внешней поверхностью. Этот случай осуществляется практически, если тело окружить оболочкой из очень плохого проводника. В аналогичной диффузионной задаче дело обстоит так, что среда, в которой происходит диффузия, окружена оболочкой, не пропускающей и не удерживающей) диффундирующего вещества, т. е. "совершенно отражающей" его частицы. В математической формулировке это означает, что нормальная составляющая теплового или материального потока исчезает на внешней поверхности:

Способ решения будет такой же, как в 1, но с тем отличием, что условие и заменяется условием Можно, например, здесь, как и выше, попытаться продолжить начальное состояние наружу так, чтобы граничное условие (68) выполнялось тождественно для всех времен.

Рассмотрим, например, опять линейную задачу, в которой тело ограничено плоскостью и положим:

тогда благодаря зеркальной симметрии при должно выполняться условие (68).

Мы найдем, следовательно, наше решение из (4), если заменим там во втором члене знак — знаком +:

Подставляя сюда опять, как в § 3, 1, , получим очевидный результат:

ибо если равномерно нагретое тело заключить в адиабатическую оболочку, то но законам термодинамики температура его меняться не будет. Аналогичный результат имеет место для диффузии.

Случай двух параллельных плоских стенок, ограничивающих однородный проводник, можно рассмотреть также по образцу § 3, 1, если общее решение составить из частных решений вида:

для которых градиент температуры исчезает на границах Оно. Пользуясь рядом Фурье с косинусами, получим для и формулу, аналогичную (17):

Полагая здесь и пользуясь тем, что

получим опять очевидное решение объясненное выше.

Рассмотрим теперь следующую диффузионную задачу: раствор заключен в еосуде с двумя параллельными стенками, "полностью отражающими" растворенное вещество и находящимися на расстоянии 2а. В момент половина сосуда от до имеет концентрацию , другая половина — концентрацию 0. Каково с как функция Введем в (70) начальное условие:

и заменим а на 2а; тогда

и следовательно:

Функция (72) представлена для различных моментов графически на рис. 64, из которого видна некоторая аналогия с рассмотренным в § 2, 1 случаем. Основной опыт диффузии, описанный там, Представляется данным здесь решением строже, так как мы всегда имеем дело с конечными сосудами.

Возьмем теперь вместо (71) следующее начальное условие, аналогичное задаче, рассмотренной ранее:

Тогда из (70) мы получим для с формулу:

Для мы получаем так как количество вещества сохраняется и распределяется по сосуду.

Рис. 64.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление