Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

12. На внешней поверхности тела имеет место «внешняя проводимость».

Мы перейдем теперь к рассмотрению задач теплопроводности, подчиняющихся следующему условию: проводник погружен среду температуры нуль, и "внешняя проводимость" на границе проводника такова, что теплообмен со средой совершается исключительно путем внешней теплопроводности. Тогда, согласно § 1, (8), условие на границе имеет вид:

В качестве первого примера попытаемся найти решение для случая тела, которое изотропно и однородно наполняет положительное полупространство Пусть опять состояние зависит лишь от координаты х. При в области температура задана функцией Постараемся удовлетворить граничному условию при путем соответствующим обравом выбранного продолжения функции в отрицательную область. В согласии с (7) § 2, пишем решение в виде:

Вычисляя 1 получим:

и

Первый интеграл преобразуем, интегрируя по частям:

Допуская, что непрерывна в точке мы имеем: и получим, подставляя в (75):

Чтобы этот интеграл исчезал для всех надо, чтобы выражение в фигурных скобках равнялось нулю. Поэтому, положив получим для него следующее дифференциальное уравнение

Его решение следующее:

где постоянная, в силу непрерывности в точке равна Интеграл

преобразуем, интегрируя по частям:

Подставляя это в (78), получим для уравнение:

Цодставляя это в (76), получим искомое решение задачи для любого начального состояния.

Исследуем теперь частный случай где - постоянная. В этом случав из (79) для следует:

н следовательно, согласно (76):

Введем в этих трех интегралах для упрощения новые переменные: в первом интеграле:

во втором:

В последнем интеграле дополним показатель до полного квадрата, так что он примет вид:

и положим здесь

Все интегралы этими подстановками приводятся в интегралу Гаусса (11) § 2, и мы получим окончательно:

На рис. 65 изображена функция (80) для нескольких различных моментов времени. Она имеет большое сходство с рис. 59, отличаясь однако от последнего, в особенности вблизи

Рис. 65.

Полагая в мы получим поверхностную температуру:

Для больших значений аргумента можно приближенно положить

и, следовательно:

Таким образом, для достаточно больших времен температура на поверхности обратно пропорциональна корню времени и убывает все более и более медленно. Спросим еще о величине градиента температуры на поверхности. Из граничного условия (75) мы получаем:

следовательно, опять для больших

то есть, при больших градиент на поверхности обратно пропорционален и, что весьма замечательно, зависит лишь от температуропроводности, но не от внешней или внутренней теплопроводнооти.

Томсон применил формулу (83) для определения возраста твердой земной коры. Пока земля находилась в жидком состоянии, внешние слои, охлаждаясь путем лучеиспускания, делались тяжелее и вследствие этого опускались в глубину, где опять нагревались. Этим путем температура всей земли поддерживалась постоянной того момента, когда началось затвердевание поверхности. Образовавшийся твердый слой должен был очень быстро расти в глубину и. скоро достигнуть такой толщины, что для небольшой области внешней поверхности условия этого параграфа были выполнены. Так как с образования твердой евиной коры протекло очень много времени, то мы можем воспользоваться формулой (83) для градиента температуры на поверхности. Этот последний известен приближенно из измерений приращения температуры с глубиной и составляет примерно 1° С на 25 м. С другой стороны, теплопроводность земных слоев примерно известна. Начальная температура по вышесказанному равна температуре плавления горных пород земной коры и оценивается в 4000° С. Это дает для искомого времени величину порядка 100 миллионов лет, что хорошо согласуется с различными геологическими оценками.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление