Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

14. Задача внешней теплопроводности в двух измерениях.

Разберем теперь задачу стр. 661 для двух измерений. Представим себе цилиндрическое тело очень большой длины и примем, как в § 3, 1, что температура есть функция только расстояния точки наблюдения от оси цилиндра. На этот раз, однако, поверхность цилиндра сообщается при помощи внешней теплопроводности с окружающей средой температуры кроме того, внутри цилиндра непрерывно производится в единице объема постоянное количество А тепла в секунду. Зависимость и о от температуры пусть будет настолько мала, что ею можно пренебречь. Ищем решение для стационарного состояния, которое, как физически очевидно, установится само собою по истечении достаточно долгого времени. Дифференциальное уравнение для этого случая, согласно (14) § 1, имеет вид:

или в силу зависимости и только от

Это есть линейное дифференциальное уравнение для решение которого имеет вид:

Чтобы градиент температуры на оси оставался конечным, С должно быть равно нулю. Отсюда мы получаем:

где С надо выбрать так, чтобы выполнялось граничное условие:

следовательно:

и окончательно:

Интересно применение этой формулы к вычислению распределения тепла в проводе, наваливаемом теплом Джоуля, которое выделяется проходящим черев провод электрическим током. Формула покавывает, какую температуру примет провод, если черев него проходит ток определенной силы, Я какую температуру он будет иметь на оси, если температура на внешней поверхности иввестна. Температура на оси всегда, конечно, больше и, как учит формула (93), на величину

В ваключение рассмотрим второй пример стационарной теплопроводности, который дается следующим обравом: бесконечно длинная цилиндрическая труба с внутренним радиусом и внешним поддерживается внутри при постоянной температуре С и может излучать тепло в окружающую среду температуры нуль. Ищем распределение тепла внутри трубы и ивлучаемое в одну секунду количество тепла.

Мы используем данное выше уравнение (90), в котором положим и найдем общее решение при помощи логарифмического потенциала:

Так как, в силу граничных условий, имеют место уравнения:

то постоянные определяются из них, и для и получаем:

Отсюда находим температуру внешней поверхности при :

и количество тепла, излучаемое в одну секунду единицей Площади внепшей поверхности

Эта формула ножег служить для определения теплового излучения цилиндрического радиатора водяного или парового отопления, температура которого протекающей жидкостью поддерживается постоянной, а наружу излучается тепло в окружающую среду. С обозначает тогда разность температур нагревателя и окружающей среды.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление