Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА XIV. ВЫНУЖДЕННАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ И ДИФФУЗИЯ

§ 1. Основные понятия и дифференциальные уравнения

1. Дифференциальное уравнение теплопроводности с конвекцией.

В предыдущей главе мы ограничивались рассмотрением теплопроводности в твердом теле. Здесь мы отбросим предположение о твердости тела, допуская, как это имеет место в случае жидкостей и газов, движение отдельных частей тела друг относительно друга. Благодаря этому обстоятельству к тепловому потоку вследствие теплопроводности добавится еще другой поток тепла, происходящий от того, что движущаяся материя переносит с собой, в силу своей теплоемкости, конечные количества тепла. Последний процесс называют обычно конвекцией.

Конвекция может иметь либо внешние причины, в том случае, когда внешние силы вызывают течение жидкости, или же, вследствие разности температур и происходящего поэтому изменения плотности от точки к точке, могут появиться силы, которые со своей стороны вывовут движение жидкости и тем самым передачу тепла конвекцией.

Составим дифференциальное уравнение, соответствующее процессу теплопроводности с конвекцией.

Пусть будет вектор скорости потока; в общем случае функция места и времени.

Тогда плотность потока материи равна а переносимое им количество тепла равно раит

Для полного теплового потока мы должны пользоваться, вместо (4) гл. ХIII, § 1, 2, выражением

Здесь плотность надо также считать функцией места и времени получаем:

Внутреннюю теплопроводность мы снова считаем постоянной. По известной теореме векторного анализа:

Принимая далее во внимание уравнение неразрывности гидродинамики (гл. I § 1, 3)

и тождество

мы получим из (2):

Вводя снова обозначение получим искомое дифференциально) уравнение:

К этому надо еще добавить, как и в случае твердого тела, некоторые граничные условия. Если мы рассмотрим небольшой участок поверхности раздела двух несмешивающихся жидкостей или жидкости и твердого тела, то конвекция перпендикулярно к этой поверхности должна исчезнуть, так как линии тока жидкости располагаются параллельно рассматриваемой части поверхности. Таким обравом, теплопередача осуществляется там лишь с помощью процесса, аналогичного внешней теплопроводности с поверхности твердого тела. Примем, как довольно естественную, гипотезу, что количественно соблюдается тот же закон, т. е. применима формула (7) [гл. ХIII, § 1], причем величину назовем ее здесь коэффициентом теплопередачи — следует рассматривать как характерную постоянную для двух данных жидкостей.

Конечно, едва ли последнее предположение в точности правильно, в действительности теплопередача вероятно есть функция и от относительной скорости жидкостей в месте соприкосновения. Во многих задачах мы можем считать большим по сравнению с к, так что можно будет положить равными температуры обоих тел на поверхности соприкосновения.

В общем случае это однако не так, и на границе твердого тела и жидкости существует конечный температурный скачок.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление