Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Конечный коэффициент теплопередачи.

Вышеизложенный метод не применим, если коэффициент теплопередачи не бесконечно велик. Однако, некоторые задачи удается решить и в этом более общем предположении. Попытаемся сперва рассмотреть следующий вопрос.

По цилиндрической трубе кругового сечения радиуса и очень большой длины течет без трения жидкость с одинаковой во всех точках сечения скоростью В начале трубы температура по всему сечению равна Температура самой трубы повсюду равна нулю, расширением жидкости пренебрегаем. Ищек стационарное распределение температуры.

Введем цилиндрические координаты гиги положим в начале трубы ; тогда, вследствие симметрии относительно оси трубы, дифференциальное уравнение § 1, (4) обращается в

а граничные условия будут:

Представим обычным способом решение в виде произведения функции В от одного и функции от одного тогда (12) распадается на следующие два дифференциальные уравнения второго порядка:

где произвольная положительная постоянная. Решение уравнения (15) гласит;

где произвольные постоянные, корни характеристической уравнения:

В силу третьего граничного условия (13) А исчезает, и в (17) надо взять нижний знак.

Решением (14) будет, согласно гл. ХIII, § 2, 2:

Где бесселева функция нулевого порядка. Вследствие второго краевого условия (13) X должно удовлетворять трансцендентному уравнению:

или

Из теорем о нулях бесселевых функций непосредственно следует, что это уравнение имеет бесконечное множество вещественных и положительных корней; расположив их в порядке величины, назовем их соответствующие этим X значения назовем

Вследствие линейности (12) мы можем представить общее решение в виде вуммы частных решений (16), (18) с произвольными коэффициентами:

Остается определить так, чтобы удовлетворить первому условию (13), т. е.

Это — разложение по бесселевым функциям, коэффициенты которого легко определяются.

Простое вычисление дает:

и окончательно получаем для и как функции от

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление