Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Течение сквозь узкие трубы. Холодильник.

Если труба достаточно увка, так что в каждом сечении температуру можно считать постоянной, то внешнюю теплопроводность можно ввести в дифференциальное уравнение, так как мы это делали в гл. XIII, § 3, 5 для тонких стержней, причем снова сечение может иметь любую форму и труба может быть изогнута, так как линии тока всегда будут параллельны оси трубы и вследствие несжимаемости жидкости будет везде иметь одинаковое значение. Дифференциальное уравнение принимает вид:

где I — параметр, отсчитываемый вдоль оси трубы, окружающая температура, и для краткости положено:

где внутренний периметр, поперечное сечение трубы.

Рассмотрим в качестве примера применения этого дифференциального уравнения холодильник. Через две концентрические цилиндрические трубы текут две жидкости в одинаковом направлении. В месте входа первая жидкость (в трубе 1) имеет температуру и скорость вторая (в трубе 2) — температуру и скорость Внешняя труба теплонепроницаема, внутренняя же настолько тонкостенна, что можно пренебречь как ее толщиной, так и ее теплоемкостью и вычислять так, как если бы обе жидкости прямо скользили одна вдоль другой. Требуется определить, каким образом более холодная жидкость в "стационарном состоянии охлаждает более теплую и обратно.

Дифференциальное уравнение (24), примененное к обеим жидкостям, даст

причем должны быть выполнены граничные условия:

Исключая из уравнений определив его, например, из первого уравнения и подставив во второе, получим линейное дифференциальное уравнение четвертого порядка:

где постоянные имеют следующие значения:

Его решение гласит:

где корни алгебраического уравнения третьей степени

Так как то из трех корней этого уравнения либо все три имеют отрицательную вещественную часть, либо только один из них (который в этом случае вещественен) отрицателен.

Далее, так как по (28) коэффициенты (30) к, не все имеют одинаковый знак, то все три корня не могут иметь отрицательную вещественную часть

Отсюда и из предыдущего мы заключаем, что уравнение (30) имеет только один (и поэтому вещественный) корень с отрицательной вещественной частью Коэффициенты показательных функций в (29), у которых не имеет отрицательной вещественной части, должны исчезать вследствие условия (26), и мы иолучаем:

Исключая и, таким же способом из (25), мы снова получим (27), так что можно написать;

Однако, коэффициенты не произвольны. Подставляя в (25), получим уравнения

которые должны выполняться для любых х. Но это возможно только тогда, когда исчезают обе части уравнений в отдельности, откуда

То, что второй и третий члены последнего выражения действительно равны между собой, есть, как легко видеть, следствие того обстоятельства, что X — корень уравнения (30). Если мы нашли X и вместе с тем то из (26), (31), (32) и (33) однозначно следует:

В нагревающей трубе температура падает, а в охлаждающей растет экспоненциально, пока, наконец, не установится одинаковая температура зависящая от теплопроводностей и скоростей обеих жидкостей и от формы холодильника.

Аналогично можно рассматривать и холодильник с противотоком, в котором обе жидкости текут в противоположных направлениях.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление