Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5. Седиментация и броуновское движение в поле силы тяжести.

Перейдем теперь к общей задаче решения уравнения (35) при определенных граничных.

условиях. Мы можем решить эту вадачу, вводя новую зависимую переменную, мы уже делали в гл. XIII, § 3, 5, а именно, полагая:

Для с тогда получается дифференциальное уравнение

т. е. то, которое имеет место для диффузии в покоящейся среде. Граничные условия при этом, естественно, меняются, а именно вместо условия получается и вместо условие

Применим вышесказанное к раствору, находящемуся в высоком сосуде под действием силы тяжести. Пусть у сосуда будет горизонтальное "клейкое" (ср. гл. ХIII, § 3, 1) дно

Наше граничное условие гласит тогда, согласно гл. XIII, § 3, 2: при если дно находится в этой плоскости. При пусть когда область интегрирования содержит значение когда она его не содержит. Тогда, вследствие формального тождества задачи рассмотренной в гл. ХIII, § 3, 2), мы можем прямо написать решение, подставляя для с выражение гл. XIII, § 3, (8).

Решение гласит, принимая во внимание (38):

Если мы теперь вычислим, следуя ходу мыслей гл. XIII, § 3,1, вероятность первого прохождения плоскости между отнесенную к движению отдельной частицы, то мы получим:

откуда, без труда выполняя интегрирования, получаем следующие средние значения времен прохождения:

Сопоставляя их, мы получим простую формулу

которой обычно пользуются для определения при наблюдение броуновского движения тяжелых частиц в вертикальном направлении.

Она играет большую роль при определении заряда малых частиц по способу Эренгафта-Милликена.

Если дно сосуда "отражает" частицы, то граничное условие должно выражать, что обшиб поток черев плоскость исчезает, так что

или, согласно (38):

И вдесь мы можем сразу написать общее решение для с по гл. XIII, § 3, 52), если мы примем, что при для области интегрирования, содержащей точку и равен нулю в противном случае. По формуле (79) гл. ХIII, § 3 мы должны положить:

Подставляя в (76) гл. XIII, § 3, мы получим, при вышеуказанных условиях после простых вкладок:

Вводя в последний интеграл в качестве неременной интегрирования мы сведем его к функции [гл. ХIII, § 2, (11)]; пользуясь (38), мы получим окончательно для с:

Для очень больших эта формула сводится к

т. е. имеем стационарное распределение, которое представляет собой, как этого и следовало ожидать, частный, случай общего решения (37) и уже подробно рассмотрено нами в 4.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление