Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6. Связь с одной теоремой статистической механики.

Если скорость у или сила к не поотоянны, то решение уравнения (5) или (7) § 1 может быть дано в некоторых частных случаях. Покажем прежде всего, что дифференциальное

уравнение (7) § 1 может быть решено в совершенно общем виде в предположении стационарности. Здесь, вследствие мы имеем:

Итак, вектор потока частиц не имеет источников. Если вихрь силы нулю, т. е. сила имеет потенциал, то не энергетических соображений ясно, стационарном случае движение жидкости непременно должно быть так безвихревым, так как в противном случае вследствие сил трения в жидкости непрерывно выделялось бы тепло, для которого извне не подводилось никакая эквивалента в виде механической работы. Таким образом, вектор полного пото должен быть равен нулю, т. е.

или

силы к, следовательно, повсюду нормальны к поверхностям равной концентраци Возьмем от обеих частей этого уравнения линейный интеграл между то ками левая часть, как известно, не зависит от пути, а зависит, лип от вначений с в точках А и В.

Величина есть не что иное как произведенная при этом силами работа равная уменьшению потенциала этих сил между таки образом:

где К есть концентрация в начальной точке пути. Взяв для формулу гл. XIII § 1 (20), мы получим далее:

В такой форме этот закон есть частный случай иввестной теоремы статистической механики — "теоремы" Вольцмана о распределении собрания одинаковых систем, зависящих от одного "наблюдаемого" параметра значениям.

Из предыдущего вывода видно, что эта теорема может быть получена и не классической теории диффувии с точностью до коэффициента при

В случае постоянной силы в направлении х мы сразу снова получаем (37). Если же, например, в направлении х действует упругая сила, притягивающая к точке и имеющая, стало быть, то и, если положить то мы получим:

— формула, имеющая формально, да и по содержанию, известное сходство с гауссовым законом распределения ошибок.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление