Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Движение системы частиц под действием внешних сил.

Перейдем теперь от рассмотрения одной единственной частицы к рассмотрению системы большого числа одинаковых частиц с одной и той же массой Общую массу для простоты мы положим равной единице. Если взаимодействием между частицами можно пренебречь, то на основапии условия (6) функция будет представлять собой плотность распределения частиц в системе в момент времени V, это справедливо во всех тех случаях, когда плотность вещества очень мала. Интегрирование дифференциального уравнения (3) или (4) эквивалентно нахождению распределения плотности в какой-нибудь момент времени, если задано исходпое распределение в начальный момент, т. е. эквивалентно задаче, которая решена в классической теории диффузии.

Выведем прежде всего два общих закона движения нашей системы частиц. Первый закон — это соотношение (8). Пользуясь принятой нами теперь терминологией, можно сказать, что ото есть закон сохранения общей массы системы частиц во время их движения.

Второй закон можно получить из рассмотрения движения центра тяжести системы частиц. Координаты центра тяжести х, у, z определяются, в соответствии с (9), как средние значения х, у, z по всему пространству:

Пользуясь тем же методом, с помощью которого было выведено выражение (8), мы получим на основании (7) и теоремы Гаусса:

откуда найдем, воспользовавшись уравнениями (3) и (4), после простых преобразований:

Легко показать, что последний интеграл равен нулю. Для этого достаточно переставить в нем операции с и применить еще раз теорему Гаусса.

Таким образом, мы получим окончательно, проделав такие же преобразования для

Так как, согласно (9), интегралы, стоящие в правой части уравнений (11), представляют собой средние значения сил, действующих на частицы системы, то из уравнений (11) следует, что центр тяжести системы движется по законам Ньютона, как материальная частица с массой, равной общей массе всех частиц, на которую действует сила, равная сумме всех сил, действующих на отдельные частицы.

Одновременно с движением центра тяжести, вследствие своего рода диффузии, происходит постепенное растекание частиц, идущее до тех пор, пока наконец не установится независящее от времени стационарное состояние. Частный пример, иллюстрирующий этот процесс диффузии, будет разобран нами в 3.

Из предыдущего рассмотрения вытекает, что движение системы одинаковых частиц по волновой механике вполне сходно с движением системы частиц, рассматриваемым в классической механике и теории диффузии. Однако, наряду с этим имеют место другие явления, подчеркивающие фундаментальные и чрезвычайно существенные различия механизма движения по обеим теориям. Наиболее просто это можно уяснить себе, рассмотрев случай стационарного состояния, когда не зависит от времени.

Это может быть в том и только в том случае, если функция 6 имеет следующий вид;

где через обозначена любая функция координат, а через - вещественная функция времени. Для того чтобы функция (12) удовлетворяла дифференциальному уравнению (3), очевидно необходимо, чтобы функция была линейной функцией. Поэтому функция может быть представлена в виде:

Подставляя (13) в уравнепие (3), мы получим для следующее дифференциальное уравнение:

Уравнение (14) называется уравнением Шредингера, независящим от времени, или уравнением амплитуд волновой механики. Если, согласно 1, перейти от (14) к классической функции Гамильтона, то легко показать, что представляет собой не что иное как полную энергию частицы. Уравнение (14) при заданных граничных условиях имеет решения, вообще говоря, только при определенных значениях называемых собственными значениями рассматриваемой граничной задачи; этим собственным значениям соответствуют собственные функции Для того чтобы функция (13) удовлетворяла условию нормировки (6), необходимо нормировать функции так, чтобы удовлетворялось условие:

В силу ортогональности собственных функций сюда прибавляются соотношения:

Стационарные решения (13) представляют собой "стоячие волны", амплитуда которых есть решение уравнения (14). Стационарное распределение плотности определяется "интенсивностью" волн, т. е. квадратом абсолютного значения амплитуды.

Общее нестационарное решение уравнения (3) можно представить как линейную комбинацию частных интегралов (13) с постоянными коэффициентами. В случае дискретного спектра собственных значений это соответствует в классической теории диффузии разложению в ряд Фурье, а в случае непрерывного спектра собственных значений — интегралу Фурье. Посредством подходящего выбора коэффициентов (или в случае интеграла Фурье — функций) можно осуществить любое начальное состояние, т. е. любое начальное распределение плотности, которое будет представлять собою группу волн или, как обычно говорят, "волновой пакет".

Волновой характер функции как легко видеть, обуславливается тем обстоятельством, что в основном уравнении (3) имеется мнимый множитель, который приводит к периодическому поведению временного множителя (13), тогда как в аналогичном решении гл. XIII, § 2, (3) классического уравнения диффузии показатель — вещественный, что приводит к затуханию со временем. Поэтому в классическом процессе диффузии любое распределение плотности с течением времени само собой должно перейти в стационарное распределение, тогда как в волновой механике изменение плотности происходит вследствие интерференции отдельных воли волнового пакета, причем стационарному распределению плотности соответствует каждая из волн, взятая в отдельности, но не результирующая волна.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление