Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Движение по инерции.

Рассмотрим теперь более подробно случай отсутствия внешних сил и исчезающе малой плотности вещества в пространстве. Этот случай описывается дифференциальным уравнением (5).

Стационарные решения можно попрежнему получить при помощи формулы (13); соответствующее уравнение амплитуд (14) принимает вид обыкновенного уравнения оптики § 1, (12)]. Таким образом, функция получается при помощи обычных гармонических стоячих волн, частота которых а длина волны т. е. совпадает с длинои волны де Бройля. В классической теории диффузии стационарное распределение характеризуется постоянной плотностью, в волновой же механике волновая функция является периодической функцией места, что доказывается известными одытами над диффракцией электронов.

Общее нестационарное решение можно, как было указано выше, получить при помощи метода Фурье в виде волнового пакета. При отсутствии граничных условий на конечном расстоянии, т. е. в случае непрерывного спектра собственных значений, можно воспользоваться формальным тождеством уравнения (5) с уравнением диффузии, и, ограничиваясь одномерной задачей, применить метод гл. ХIII, § 2, 1. Подставляя в формулу гл. ХIII, § 2 (7) вместо В выражение

мы сможем сразу написать:

где есть начальное состояние при Формула (18) позволяет точно проследить, как частицы, распределенные в начальный момент с плотностью мало-по-малу распространяются на все пространство, распределяясь в нем вследствие неизменности общей массы с бесконечно малой плотностью.

В качестве примера рассмотрим, как расползается волновой пакет, описываемый волновой функцией:

где есть вещественные постоянные. Распределение плотности, соответствующее (19):

есть распределение Гаусса. На основании условия (6):

в чем легко убедиться, интегрируя по от до

Далее, согласно (9), из (20) и (21) следует, что средние значения в начальный момент равны:

Дисперсия

равна при

Если подставить выражение (19) в (18) и для простоты ввести сокращенные обозначения:

то после простых преобразований мы получим:

Воспользовавшись соотношением (21), мы получим отсюда для распределения плотности в момепт

Выполняя интегрирование, легко убедиться в справедливости уравнений:

из которых первое есть частный случай (8), а второе — частный случай (21), и означает, что центр тяжести системы частиц движется с постоянной скоростью

Распределение плотности около центра тяжести будет оставаться гауссовским в любой момент времени, причем дисперсия равна

Эта формула дает представление о том, как увеличивается дисперсия со временем от начального значения (23).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление