Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Связь с соотношением неопределенности.

До сих нор мы рассматривали только распределение плотности системы частиц, не интересуясь распределением скоростей. На основании соображений, высказанных в 2, очевидно, что оба рода распределений должны быть связаны друг с другом. В самом деле, для того чтобы описать систему частиц с заданным распределением плотности при помощи волнового пакета, необходимо, вообще говоря, произвести наложение волн вида (13) со всевозможными частотами, т. е. волн, соответствующих всем возможным собственным значениям Однако, так как представляет собой энергию одной частицы, то это означает, что различные частицы обладают всевозможными значениями энергии, совместными с граничными условиями, причем это распределение по энергии определяется коэффициентами разложения волнового пакета в ряд Фурье. Таким образом, задание распределения плотности обусловливает вместе с тем определенное распределение но энергиям или скоростям частиц системы. В обычном процессе диффузии расползание

частиц обусловлено неодинаковостью скоростей отдельных частиц; аналогичным образом можно понимать расползание волнового пакета. В связи с этим, мы добавим несколько замечаний к разобранному в 3 примеру движения по инерции, ограничиваясь нопрежпему одной степенью свободы.

Если обозначить через начальное положение одной из частиц системы, а через ее скорость, то положение частицы в момент времени будет определяться выражением:

Если центр тяжести в начальный момент совпадает с началом координат, то усредняя (30) по всем частицам системы, мы получим:

Отсюда следует, что центр тяжести движется с постоянной скоростью Вычитая (31) из (30), возводя в квадрат и усредняя, мы найдем:

если есть дисперсия скоростей.

Применим сначала формулу (32) к разобранному в 3 примеру; воспользовавшись формулами (23) и (29), мы получим:

Из первого из этих двух равенств следует, что дисперсии друг от друга статистически независимы. Второе же равенство при помощи (17) можно написать в следующем виде:

Оно представляет собою частный случай фундаментального для квантовой механики соотношения неопределенности Гейзенберга, заключающегося в том, что произведение неопределенностей двух канонически сопряженных переменных по порядку величины равно

Рассмотрим теперь общий случай любого, а не гауссовского, начального распределения с дисперсией Так как основное уравнение (5) инвариантно по отношению к равномерному поступательному движению координатной системы, и так как на основании (8) центр тяжести системы частиц движется с постоянной скоростью, то мы всегда можем, не нарушая общности, выбрать такую координатную систему, в которой центр тяжести покоится, и в этой системе исследовать изменение

Перепишем сначала при помощи сокращенных обозначений (17) основное уравнение (5) и комплексно сопряженное уравнение для одномерного случая:

Применяя эти уравнения и приняв во внимание предположенное поведение функции 6 на бесконечности, мы получим после повторного интегрирования по частям:

По формуле есть, в согласии с (32), квадратичная функция времени, а дисперсия представляющая собой коэффициент при равна, на основании (35) и (36):

Попытаемся теперь найти для нижнюю границу, исходя из очевидного соотношения:

и получая из него для неравенство:

Подставив (39) в (37) и воспользовавшись (34) и (6), мы получим;

откуда для тыгекает неравенство:

Нижняя граница будет очевидно достигнута в том и только в том случае, когда в (38) стоит знак равенства. Тогда после однократного интегрирования мы подучим для выражение:

откуда исходное распределение плотности имеет вид:

которое в силу (23) тождественно с (29).

Таким образом, нижняя граница соотношения неопределенности (40) достигается только в случае распределения Гаусса, для которого это было доказано в уравнении (33).

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление