Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ. СТАЦИОНАРНОЕ (И КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ) ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ

ГЛАВА XV. ЭЛЕКТРОСТАТИКА

§ 1. Формулировка проблемы

1. Основные физические представления.

Электростатика наряду с учением о тяготепии является той областью теоретической физики, в которой преимущественно развивались идеи и методы теории потенциала; таким образом, в своем теперешнем виде электростатика представляет собой непосредственное применение этих методов. Все, что будет здесь сказано относительно электростатики, применимо mutatis mutandis также и к магнитостатике. Следующие законы являются основными.

а) Закон Кулона. Два точечных электрических заряда находящиеся в однородной среде на расстоянии друг от друга, отталкиваются с силой, которая направлена по линии, соединяющей оба заряда, и равна по величине:

где s представляет собой постоянную, характеризующую среду, в которой помещены заряды, и зависящую от принятой системы единиц. Заряды могут иметь положительный или отрицательный знак; в случае разных знаков отталкивание заменяется притяжением. Этот закон можно расчленить на две следующие части:

a) Электрический заряд вызывает в окружающем пространстве "поле", направленное по радиусу наружу и равное

b) Заряд испытывает в поле силу, по направлению совпадающую с полем и по величине равную

Функция

измеряет поэтому работу, которая требуется для перемещения единицы заряда из бесконечности в какую-либо точку шаровой поверхности радиуса Она называется "потенциалом" этого электрического поля.

b) Постоянную называют, согласно Фарадею, диэлектрической постоянной соответствующей однородной среды. Абсолютные

электростатические единицы заряда и поля выбираются так, что постоянная для воздуха (или точнее для пустоты) оказывается равной единице. В других телах, в частности в тех, которые употребляются в качестве изоляторов, диэлектрическая постоянная больше единицы. Тела, у которых называются "диэлектриками". Тела, у которых неизвестны.

c) Поле многих зарядов (точечных и объемных) получается векторным наложением полей отдельных зарядов. Соответствующие потенциальные функции при этом складываются скалярно.

d) Существуют тела, в которых, под влиянием электрического ноля, возникают и перемещаются положительные и отрицательные заряды. Такие тела называются проводниками электричества. Равновесие в проводниках возможно только тогда, когда внутри них пет пикакого электрического ноля.

e) Когда электрическое иоле действует на систему соединеппых друг с другом проводников, то в последних устанавливается определенное соетояпие равновесия в результате образования на их поверхности положительных и отрицательных зарядов. В системе проводников, соединенных между собой, по изолированных от всех других проводпиков, сумма всех зарядов зависит от электрических полей, действующих на систему, и представляет собою постоянную величину, характеризующую систему.

f) В пространстве вне проводников (в диэлектрике) существуют только заранее заданные заряды; электрическое поле не вызывает здесь появления новых зарядов, даже в том случае, когда диэлектрик состоит из частей, обладающих различными диэлектрическими постоянными. Заряды, имеющиеся в диэлектрике, а также заряды, собирающиеся на поверхности проводников, называются истинными электрическими зарядами.

g) В неоднородной среде, состоящей из нескольких диэлектриков, не может иметь место закон Кулона в форме а). Согласно Фарадею, можно представить себе, что в диэлектрике имеется много малых обособленных проводпиков. Эти последние не влияют на общую сумму всех истинных зарядов, находящихся в поле, но экранируют поле внутри диэлектрика посредством образующихся при этом на их поверхности положительных и отрицательных зарядов; в то же время в окружающем пространстве, а также между, такими воображаемыми проводниками поле подчиняется закону Кулона. Однако, с электростатическим. полем, в указанном выше смысле, следует отождествлять не это неправильно распределенное поле, но среднее поле, которое получается посредством усреднения по маленьким элементам объема и которое только и поддается измерению. Это среднее поле меньше того, которое имеет место в воздухе, в отношении . Оно соответствует внутри диэлектрика только истинным зарядам, так как сумма зарядов, индуктированных в фиктивных маленьких проводниках, равна нулю. Но на границе двух диэлектриков поле таково, как если бы там были распределены заряды (свободные заряды по Гельмгольцу). Эти заряды при прочих равных условиях пропорциональны разности диэлектрических постоянных обоих диэлектриков. Среднее поле также обладает потенциалом так как оно составлено из отдельных кулоновых полей.

h) Потенциал обозначает работу, которая должна быть совершена против сил электричезкого поля для того, чтобы перенести единичный заряд из бесконечности в точку х, у, z. Потенциальная энергия всего поля соответствует работе, которая необходима для того, чтобы постепенно построить систему зарядов, являющихся носителями поля, т. е. перенести эти заряды из бесконечности в те точки, где они находятся. Сначала необходимо представить себе, что заряды распределены на проводниках, причем потенциалы этих проводпиков равны соответственно Когда заряд увеличивается на то, но определению, энергия заряда при этом увеличивается на откуда для непрерывного изменения заряда мы получаем

. Но на основании с) значения представляют собоё линейные однородные функции зарядов и поэтому будет однородной функцией второго порядка относительно варядов Следовательно, на основании теоремы Эйлера об однородных функциях:

причем сумма должна быть взята по всем зарядам. Этот результат может быть непосредственно перенесен на тот случай, когда заряды распределены в пространстве непрерывно с плотностью в объеме или с поверхностной плотностью о на поверхности Тогда мы имеем аналогично (1):

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление