Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. К интегрированию уравнения Гамильтона-Якоби в частных производных.

Задачу нахождения полного интеграла уравнения (36) можно сформулировать также следующим образом: нужно найти таких функций от параметров чтобы уравнения, получающиеся от их приравнивания нулю

были разрешимы относительно и чтобы получающиеся при этом функции превращали выражение в полный дифференциал, т. е. чтобы существовала функция от величин удовлетворяющая тождеству

Далее, функции от должны удовлетворять тождеству вида

Такую систему функций можно найти следующим образом. Мы исходим из произвольных интегралов уравнений движения, находящихся в инволюции друг к другу:

Если положить то функции от получающиеся при решении относительно удовлетворяют на основании § 2 (67), (72) тождеству вида (39). Что (40) тоже удовлетворяется и, следовательно, из (39) получается полный интеграл уравнения -легко показать, вводя касательное преобразование вида (23), в котором определяются так, чтобы удовлетворять уравнениям (23).

В таком случае, в силу (41) мы действительно имеем касательное преобразование. Так как должны Тшть интегралами, При этом из (12а) следует: Значит есть функция только от и найденные величины "соответствуют" задаче.

Здесь нужно отметить, что, как указано в § 2, 6, в общем случае только после того, как даны интеграл вида (41), каждый дальнейшей интеграл уравнений движения является их функцией. Однако, если таких интегралов находятся в инволюции, то можно выразить только через эти интегралов, следовательно, они могут быть выбраны в качестве "соответствующих" переменных

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление