Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 6. Применение электростатики к теории катодных ламп

1. Постановка задачи.

В то время как металл в холодном состоянии, находящийся в вакууме, может быть заряжен сколь угодно сильно, в горячем (накаленном) состоянии он теряет это свойство, так как тогда электроны могут выходить из металла посредством процесса, подобного испарению. Это явление лежит в основе устройства катодной лампы, которая, как правило, состоит из двух находящихся в вакууме электродов — катода и анода. Катод накаляют, — чаще всего с помощью электрического тока. В случае трехэлектродной лампы прибавляется еще один вспомогательный электрод, изолированный от обоих других — "управляющий электрод". Если соединить положительный полюс батарея (анадной батареи) с анодом, а отрицательный с катодом, то, согласно вышесказанному, через лампу потечет электрический ток. Сила этого тока есть определенная функция анодного напряжения Функциональную

зависимость от обыкновенно называют "характеристикой" лампы. Ее обычный вид представлен на рис. 78. В области между точками (только эта область и имеет значение в большинстве применений) можно приближенно считать характеристику прямолинейной.

Если между катодом и управляющим электродом ввести вспомогательное напряжение то при неизменном сила тока изменяется, на чем и основано применение катодной лампы в качестве усилителя в радиотелеграфии.

Варкгаузен нашел, что зависимость от может быть представлена формулой

где имеет то же значение, что и выше, есть постоянная, характеризующая данную лампу и называемая обычно "проницаемостью". Ее теоретическое вычисление представляет собой задачу большой важности потому, что величина имеет основное значение для усилительного действия лампы.

Рис. 78.

2. Вычисление проницаемости.

При вычислении проницаемости мы будем следовать Лауэ и Абрагаму и соответственно этому будем считать задачу в первом приближении электростатической. При наличии разностей потенциалов на катоде индуктируется эледтрический заряд благодаря тому обстоятельству, что этот электрод накален, заряд может выйти из катода и вызвать ток который мы поэтому в первом приближении будем считать пропорциональным величине Заряд легко вычислить по общим законам электростатики. А именно, если сначала положить то во всяком случае причем постоянная обычно называется частичной емкостью между катодом и анодом. Аналогично, если положить то заряд где есть частичная емкость между катодом и управляющим электродом. Очевидно, что общий случай можно получить, складывая заряды, получающиеся в обоих частных случаях (см. § 3, 3):

На основании вышесказанного мы можем, следовательно, положить

где

следовательно, сила тока действительно выражается формулой вида (1) на прямолинейной части характеристики. При этом проницаемость оказывается равной отношению обеих частичных емкостей и поэтому может быть вычислена с помощью методов теории потенциала. Для того чтобы электрический ток мог протекать, необходимо, в силу отрицательности заряда электронов чтобы было В противном случае ток не течет (выпрямляющее действие катодной лампы).

Вычислим теперь значение величины в конкретном случае, который возможно более близок к технике. Пусть лампа имеет сечение, указанное на рис. 79. Анод представляет собой цилиндр радиуса , а катод есть провод радиуса совпадающий с осью цилиндра. Пусть . Управляющий электрод пусть состоит из "сетки" из проводников, параллельных оси и имеющих радиусы которые находятся на равных расстояниях друг от друга на цилиндрической поверхности радиуса и соединены между собой электрически. Пусть но имеют одинаковый порядок величины. Для простоты предположим, что цилиндрические поверхности простираются до бесконечности в направлении оси; при этом наша вадача сводится к двухмерной.

Задача заключается, согласно § 2, 1, в решении дифференциального уравнения с пограничными условиями: при приг на поверхностях проводников сетки. Введем в плоскости чертежа комплексную координату и тогда можем приравнять на основании § 4, 3, вещественной части комплексной функции которая удовлетворяет вышенаписанным пограничным условиям.

Рис. 79.

Ясно, что мы сможем приближенно удовлетворить условию постоянства у на поверхности проводников катода и сетки, принимая в качестве у сумму логарифмических потенциалов, выражающихся формулой (22а) § 4, с полюсами в точках Действительно, в достаточной близости от точки величина много больше всех других логарифмов, и поэтому эквипотенциальные линии в достаточной близости от приближенно являются окружностями, а поэтому поверхности проводников, как и требуется, являются поверхностями постоянного потенциала.

Чтобы сделать потенциальной линией также и окружность , отразим точки в этой окружности; обозначим отраженные точки через На основании метода электрических изображений § 4, 2 можно утверждать, что тогда на поверхности потенциал тоже будет постоянным, если в точки поместить равные и противоположные по знаку заряды, т. е. если к каждому члену прибавить член Следовательно, в общем виде можно положить

где выбираемые покамест произвольно вещественные постоянные. Отсюда следует:

Так как значения как равноотстоящие точки на окружности радиуса представляют собою корни уравнения и то же самое справедливо относительно то мы можем также написать:

где, на основании правила отражения

Для определения постоянных положим сначала в тогда, принимая в расчет (5), получим после простого вычисления:

Далее, для вследствие того, что получим, принимая в расчет (5),

Наконец, положим Тогда можно вынести из выражения множитель а в том, что останется, в срлу условия положить приближенно Это дает:

Далее, с той же самой точностью

Тогда пограничное условие на проводниках сетки имеет, на основании (4), вид:

Из трех уравнений (6), (7), (8) можно сразу выразить три постоянные через потенциалы линейным образом и тем решить задачу определения В частности, для постоянной А мы получаем с точностью до неинтересного для нас множителя:

Вблизи нулевой точки (4) сводится к первому члену, следовательно логарифмическому потенциалу. В этом случае по своему физическому смыслу величина А есть просто заряд единицы длины катода, разделенный (ср. § 4, 1); поэтому (9) совершенно аналогично (2), и для проницаемости сразу получается:

Если, например, положить (как обычно бывает в чтехнике усилительных ламп): то из (10) получим: Объемный заряд. Полученное выше решение является неправильным не только потому, что мы исследовали электростатически случай стационарного тока, но также и потому, что применение уравнения Лапласа недопустимо, так как электроны, излучаемые катодом в вакуум, создают заметную объемную

плотность заряда (объемный заряд). Поэтому горячий металл в вакууме всегда окружен "облаком объемного заряда", и вычисление распределения потенциала заряда в таком облаке представляет собой дальнейшую важную и интересную задачу теории катодных ламп. Эта задача была в основном также решена Лауэх).

На основании принципов статистики легко установить и проверить на опыте (Ричардсон), что плотность объемного заряда в состоянии статистического равновесия в какой-либо точке связана с потенциалом уравнением

где означает плотность в точке а а есть постоянная, зависящая только от температуры металла. В дальнейшем мы всегда будем полагать, что на поверхности металла тогда для каждой определенной задачи будут определенными постоянными, причем, так как заряд электронов отрицателен, то

Если связать (11) с уравнением Пуассона § 1, 2 (3), то мы получим дифференциальное уравнение

Выведем сначала одно общее свойство уравнения (12). Так как то всегда и поэтому согласно теореме Гаусса, не может нигде иметь максимума, а следовательно, согласно (11), также не может иметь максимума. Следовательно, электронное облако, которое имеет на границе исчезающую электронную плотность, не может находиться в равновесии; поэтому оно должно по крайней мере в одном месте находиться в соприкосновении с накаленным неталлом.

В качестве простейшей задачи мы найдем решение уравнения (12) в том случае, когда зависит только от одной координаты х. Этого можно достигнуть в том случае, если рассматривать накаленный электрод как бесконечно протяженную пластинку, перпендикулярную к оси х. Из уравнения (12) мы тогда получим:

Умножая обе стороны уравнения (13) на мы получаем первый интеграл:

где есть постоянная интегрирования. Если имеется только один накаленный электрод (мы представляем себе его как массивный кусок металла, простирающийся от до то на основании вышесказанного не может иметь максимума в какой-либо точке и поэтому также не может иметь минимума в конечной области. Следовательно, нигде не может равняться нулю, и поэтому должно быть положительным числом или нулем.

Обозначим положительный корень из через А и введем в уравнение (14) вместо переменную определяемую формулой (11); тогда мы получим:

где для сокращения положено произвольная постоянная.

Решая уравнение (15) относительно мы получаем:

откуда с помощью (11) можно вычислить также

Из (16) мы видим, что при следовательно, X должно во всяком случае быть меньше, чем Вблизи ведет себя приблизительно как

и, следовательно, не зависит от в той же области стремится к бесконечности как

Для получается приближенно:

откуда следует, что, так как в общем случае оба очень велики, плоскость лежит очень близко к поверхности накаленного электрода. Поэтому мы можем с малой погрешностью поместить эту поверхность в точке и производить вычисления таким образом, как будто на поверхности плотность и потенциал бесконечно велики.

Для очень больших х из (16) получается:

Следовательно, при больших значениях о плотность очень быстро (экспоненциально) стремится к нулю; согласно (11), мы получаем отсюда для потенциала

т. е. линейный ход. Постоянная А будет определена, если задать в одной какой-либо точке х значение если, например, в эту точку поместить холодный электрод, обладающий определенной разностью потенциалов относительно горячего электрода. Так как то должно быть следовательно, холодный электрод должен быть отрицательным, что ясно и без вычислении. Если холодный электрод положителен, то получается не стационарное состояние, а электрический ток (см. 1 и 2). При формула (17) применима совершенно (точно, и в этом случае стремится на бесконечности к нулю обратно пропорционально квадрату расстояния, логарифмически. Это соответствует тому случаю, когда холодный электрод находится на бесконечности и имеет потенциал, равный нулю.

Мы переходим теперь к решению уравпения (12) в двух измерениях, что применимо во всех тех случаях, когда электроды имеют форму бесконечно длинных цилиндров произвольного сечения. Тогда нужно написать:

Введем новые координаты с помощью комплексной функции таким образом, что Пусть при этом функция

переходит в функцию Определим далее еще одну функцию посредством уравнения

Между функциями имеет место соотношение:

Если подставить это в (18), то, используя (19), мы получим:

В силу уравнения (19)

везде, где функция регулярна. Отсюда далее следует:

что формально тождественно с (18).

Следовательно, если мы нашли решение V уравнения (20) для какого-либо частного случая, то из него можно с помощью (19) сразу получить новое решение в котором есть произвольная аналитическая функция. При этом точка переходит в точку причем, однако, в отдельных точках, — в особых точках отображения могут возникать трудности, которые необходимо особо принять во внимание. Мы нашли Ъыше общее решение уравнения (18) для случая, когда точки имели потенциалы Если мы с помощью конформного отображения преобразуем прямую и в произвольно заданную кривую в плоскости то мы получим из уравнения (19) решение, соответствующее этому пограничному условию. Если новая пограничная кривая не имеет углов, то вблизи ее функция V будет вести себя как где I означает расстояние рассматриваемой точки от пограничной кривой. Поэтому мы опять можем с тем же приближением отождествить эту кривую с контуром цилиндрического накаленного электрода и после эргого решить задачу о распределении заряда в двух измерениях самым общим образом для произвольной формы накаленного цилиндрического электрода.

Если, например, функция отображения имеет вид то она переводит прямые в окружности, центр которых совпадает с началом координат в плоскости . С помощью этого отображения легко можно изучить наиболее важный для технических применений случай, когда электроды имеют форму бесконечно длинных коаксиальных круговых цилиндров. Существование особой точки в начале координат не имеет здесь значения, так как эта точка во всяком случае не, лежит внутри рассматриваемой области. Аналогично поступают и в других случаях.

Наконец, с помощью изученных методов можно получить самое общее решение уравнения (18). Легко убедиться с помощью вычисления, что частное решение уравнения (20) для кругового цилиндра есть

Отсюда мы получаем, согласно (19), решение уравнения (18):

Здесь есть совершенно произвольная комплексная функция, так что (21) представляет собой общее решение (18). Эта формула дана Лиувиллем, и Бибербах показал, что действительно все вещественные решения (18) содержатся в (21).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление