Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Решение интегрального уравнения для распределения тока.

Решение интегрального уравнения (10) возможно, если мы знаем собственные функции соответствующего однородного уравнения. Для этой цели мы введем сначала отвлеченные величины

В интегральном уравнении (10) мы теперь будем искать заряд на единицу длины (или же заряд на новую единицу длины, равную ) в функции от причем для этого заряда получим уравнение:

с ядром

Соответствующее однородное уравнение (параметр есть

его решение мы и должны сначала найти.

Мы имеем здесь особенно простой случай однородного интегрального уравнения потому, что ядро симметрично относительно переменных

к зависит только от разности и потому, что интегрирование производится вдоль всей вещественной оси от до Поэтому в этом уравнении ни одно значение не выделяется но сравнению с другими и его можно рассматривать как аналог линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, существенное свойство которых заключается в следующем. Если известно решение то функция при произвольном значении постоянной с есть решение того же уравнения, т. е. в данном случае уравнения с тем же параметром k. На основании этой аналогии мы ищем общее решение в виде:

Вставляя выражение (17) в уравнение (16), мы получаем:

(для сокращения мы ввели обозначение Так как есть четна» функция, то последний интеграл равен 0, и поэтому независимо от с получаетоя: условие

определяющее связь между к и Пусть пробегает все вещественные значения; найдем соответствующие значения — или к, определяемые уравнением (18).

Рис. 81.

Не производя интегрирования, можно убедиться помощью определения (15) величины что при интеграл стремится к бесконечности, следовательно, к стремитоя к нулю, а при интеграл стремится к 0, следовательно, к в бесконечности. Более детальное аналитическое исследование показывает, что в промежуточных точках к растет монотонно вместе от 0 до Чтобы убедиться в этом, напишем:

Этот интеграл можно преобразовать с помощью комплексного интегрирования в иввеотный интеграл, если заменить вещественный путь интегрирования 1 (рис. 81), петлей II около точки разветвления Подстановка приводит опять в вещественному интегралу:

Это выражение представляет собой нормальную форму первого интеграла пулевого порядка Поэтому:

при обычном обозначении функций Так как представляет собой, согласно (19), функцию, монотонно убывающую от до когда монотонно растет от до вдоль вещественной оси, то к действительно монотонно растет вместе с от до причем соответствие между ними однозначное. Каждому положительному значению нараметра к соответствуют, следовательно, собственные решения интегрального уравнения (16), причем оба решения

линейно независимы. Отрицательные же к не могут быть собственными значениями.

Однако, значение (соответственно параметра неоднородного уравнения (15), подлежащего решению, можно считать собственным значением. Поэтому существование решения этого уравпепия не является несомненным; решения существуют только в том случае, когда функция, стоящая в правой части уравнения, которую мы обозначим через удовлетворяет условиям:

Так как в случае уравнения (15) функция

убывает до нуля при а во всех других точках остается конечной, то эти условия в действительности выполнены.

Чтобы получить полное решение, представим функцию в виде интеграла Фурье, полагая в нем

где имеет, в силу (19) и (20), значение

С другой стороны, неизвестную функцию также моашо искать в виде интеграла Фурье:

Если вставить эти выражения в (15), то, изменяя порядок интегрирование и принимая в расчет, что удовлетворяет уравнению мы получим:

и, следовательно, сравнение коэффициентов даст

Вычислим наконец полный ток в проводнике. Принимая в расчет мы получим для него выражение

Так как в (23) представлено в виде интеграла Фурье, то мы получим интеграл функции от до непосредетвепю из того преуелтного значения, к которому стремится коэффициент Фурье при На основании этого соображения

Но на основании уравнепия (20) можно для малых натесать разложение

где означает постоянную Эйлера Отсюда следует, что стремятся в логарифмической бесконечности при и поэтому в пределе отличаются друг от друга только на конечную аддитивную постоянную Следовательно, предел в формуле (24) равен единице, и можно написать т. е., весь ток входит в трубку (конечно, только в том случае, когда проводимость можно считать бесконечной).

Отметим еще частный случай т. е. в котором источник тока находится непосредственно у поверхности проводника. В этом случае, согласно (23), (23), мы имеем:

Это выражение представляет собой разложенйе в интеграл Фурье несобственной функции, которая во всех точках равна нулю, кроме точки где она стремится к бесконечности таким образом, что интеграл ее, взятый между Произвольным отрицательным и положительным пределом, конечен и равен В этом случае полный ток, который опять равняется концентрируется в этой

точке. Это замечание существенно дляразбора вопроса о вторичном вырождении тока из проводника, так как здесь мы имеем простейший случай, когда ток подводится к проводнику непосредственным металлическим контактом.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление