Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Решение интегродифференциального уравнения для выхода тока.

Подобным же образом находится решение интегродифференциального уравнения (13), Мы опять введем отвлеченные величины определенные уравнением (14); далее в качестве неизвестной функции выберем отношение потенциала к тому, который был первоначально создал в точке

и через обозначим отвлеченный положительный, практически всегда большой, параметр

При этом интегродифферепциальное уравнение получает вид

с ядром определяемым уравнением (15).

Пусть соответствующее однородное интегродифференциальное уравнение

опять имеет независимые собственные решения

Тогда так же, как и в 3, получается связь между и определяемая уравнением

С помощью этого уравнения с каждом значением однозначно сопоставляется соответствующее причем при обозначениях (19), (20) эта связь имеет вид

Поэтому можно утверждать, что все собственные значения теперь отрицательны, если принять в расчет разобранные выше свойства Так как при имеет логарифмическую бесконечность, при как и в случае обычного дифференциального уравнения второго порядка. При больших значениях имеет место асимптотическое разложение

поэтому, при больших опять стремится к нулю, как и выше, в случае интегрального уравнения в 3. Сопоставляя полученные результаты, мы видим, что, в то время как растет монотонно от нуля до бесконечности, изменяется от до определенного отрицательного значения с наименьшей абсолютной величиной и потом опять растет по абсолютной величине до Следовательно, абсолютная величина отрицательных собственных значений имеет неравный нулю нижний предел. Отсюда следует, на основании теории интегральных уравнений, что неоднородное уравнение (27) имеет решение при каждом положительном значении

Для определения решения представим опять правую сторону уравнения (27) в виде интеграла Фурье (22):

где, согласно (22)

Функцию мы также будем искать в виде интеграла Фурье:

так что (27) принимает вид

Так как соэр есть решение однородного уравнения (27) с параметром то из (31) после изменения порядка интегрирования в двойном интеграле получается:

следовательно, в силу (28)

Таким образом, решение формально найдено.

Что касается сходимости решения (30), (33), то необходимо принять в расчет, на основании (29), экспоненциально стремится к нулю при возрастании следовательно, стремится к и поэтому сходимость интеграла (30) предполагает сходимость (22) и определяется последней. С меньших количеством предположений связано представление в виде интеграла Фурье

функции где под подразумевается правая сторона уравпения (27) или в более общем случае произвольная функция. При этом мы получаем:

и, вследствие экспоненциального убывания в числителе, этот интеграл сходится гораздо лучше, чем (32). В формуле (34) можно в общем случае подставить вместо интегральную форму этого выражения:

Принимая в расчет асимптотическое поведение этих выражений, можно изменить порядок интегрирования, и тогда получаем:

Так как предполагается четной функцией, то можно прибавить соответствующий член с который не прибавит ничего к написанному уравнению после интегрирования по таким образом, мы получаем:

где

есть "разрешающее ядро" интегродифферепциальпого уравнения (27).

Дальнейшие исследования решения содержатся в работе, цитированной в начале § 2. Они относятся прежде всего к случаю который, как мы видели в 3, изображает постепенное обратное выхождепне тока, сконцентрированного в одпой точке, и имеет место, например, тогда, когда проводник представляет собой волосообразное заземление сети высокого напряжения.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление