Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Общее решение неоднородной задачи.

Чтобы решить формулированную в 2 неоднородную задачу, мы используем, следуя М. Гафену представление искомой функции с помощью поверхностного варяда круглой пластинки лежащей в плоокости качестве элементов этого поверхностного варяда мы выберем распределение варяда на пластинках радиуса соответствующее распределению, найденному в 3, причем элементарный варяд каждой такой пластинки равен Плотность варяда надо определить из пограничного условия (11). Для того чтобы далее удовлетворить условию (12) для полного варяда, мы прибавим однородное решение которое не влияет на пограничное условие (11), так как оно постоянно вдоль поверхности

Потенциальная функция, соответствующая элементарному заряду на основании вычисления в конце предыдущего номера, равна постоянное значение вдоль равно мы обозначим его через Тогда мы можем представить потенциальную функцию в виде:

или, интегрируя по частям:

где штрих обозначает дифференцирование по

Б пограничном условии (11) мы напишем при

После подстановки (19) оно принимает вид:

где второй член с правой стороны уравнения (19), имеющий постоянное значение при включен в постоянную С. На плоскости мы имеем, согласно (18):

следовательно, в качестве окончательной формы пограничного условия мы получаем но (21):

Это есть интегральное уравнение типа Вольтерра. Можно дать явное решение этого уравнения с помощью метода, использованного Гафеном также и для более общёго случая.

Обозначим переменные интегрирования черев вместо помножим уравнение (21) на и проинтегрируем по от до

Для того чтобыг изменить порядок интегрирования в двойном интеграле, примем во внимание, что этот интеграл ввят по, области Поэтому мы имеем:

В этой формуле внутренний интеграл на правой стороне представляет собой постоянную, не вависящую от и равную [соответствующим образом и был выбран множитель, на который помножено уравнение (21)] Действительно, если подставить то надо будет интегрировать в комплексной плоскости С вдоль разрева до Дополним этот нуть до замкнутого обхода вокруг этого разреза и деформируем

этот обход в большую окружность на которой интеграл можно вычислить как вычет. Тогда

и поэтому (23) дает:

т. е.

Таким образом, мы нашли функцию входящую в первоначальное выражение (19) функции и тем принципиально решили неоднородную задачу, так что остается только установить значение постоянной С.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление