Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5. Решение в случае тока.

В частном случае, соответствующем кольцам Нобили и нашей электростатической вадаче, функция определяется уравнением (20). Тогда в уравнении (24) интеграл определяется с помощью, элементарного интегрирования, причем получается результат:

Следовательно, согласно (24)

Выражение Дает при этом искомую потенциальную функцию

причем в постоянную с включены члены, содержащие

Здесь удобно в качестве переменной интегрирования опять ввести переменную , использованную в 3, причем, согласно (18)

Это обозначение следует понимать так, что для определенной точки значение координаты о зависит от фокусного расстояния которое положено в основу

координатной системы; на это и указывает значок Действительно, имеем согласно (14):

Следовательно, при воех значениях значению соответствует значение и поэтому, производя подстановку, мы получаем из (25):

Интеграл разлагается на простые дроби следующим образом:

где введены следующие обозначения:

Интегрирование приводит в выражению:

и, испольвуя соотношение

Наконец, мы должны определить постоянную с с помощью условия (12), по которому при больших значениях потенциальная функция должна стремиться к Функция по уравнению (18) при больших приближается к функции Чтобы найти значение при больших мы можем использовать выражение (26); однако, удобнее исходить непосредственно из (25). Действительно, так как стремится к то стремится к а в таком случае интегрирование выражения (25) дает:

Следовательно, для определения с мы имеем уравнение:

тем самым функция определена полностью

Далее на основе выведенных формул можно без труда вычислить постоянное значение потенциала на круговом диске и обратно определить из заданного значения радиус что и соответствует закону поляризации. Но последняя вадача требует графического или какого-либо другого приближенного решения.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление