Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Метод разделения переменных

1. Основные идеи метода.

Применение метода, изученного в § 4, 4, к интегрированию дифференциального уравнения в частных производных Гамильтона-Якоби существенно упрощается в том случае, когда имеет такую форму, что функций в § 4 (38) содержат величины только так, что в входит единственная координата и единственная составляющая импульса Следовательно, если мы решим относительно то должны существовать такие функций:

которые удовлетворяют тождеству § 4 (40). Это будет, например, иметь место во всех тех случаях, когда можно представить в форме:

Действительно, в таком случае нам стоит только положить и решить эти уравнения относительно чтобы получить уравнения вида (1), удовлетворяющие тождеству § 4 (40). Существенное упрощение заключается в том, что при этом тождество § 4 (39) всегда выполняется само собой. Действительно, величины всегда находятся в инволюции, так как они по определению скобок Пуассона § 2 (61) должны удовлетворять тождествам Если мы введем неопределенные интегралы:

то мы сразу получим выражение удовлетворяющее тождеству § 4 (39), если положим

Таким образом, мы получим полный интеграл уравнения в частных производных Гамильтона-Якоби. При этом общее решение уравнений движения имеет, согласно (2), (3) и § 4, (29), (25), (33), вид:

Этот метод получил название метода разделения переменных.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление