Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Вспомогательная теорема.

Пусть заданы два векторные поля которые во всем пространстве удовлетворяют условиям:

Здесь включен также и тот случай, когда эти векторы терпят разрыв на определенных поверхностях. В этом случае поверхностный вихрь и поверхностная расходимость должны равняться нулю:

На бесконечно большом расстоянии должны быть удовлетворены условия:

исключающие существование бесконечно удаленных источников вектора и вихрей вектора

В таком случае мы утверждаем, что интеграл скалярного произведения обоих векторов, распространенный на все пространство, иснезает:

Действительно, согласно (4), мы можем положить:

Если через обозначить области, в которых векторы непрерывны, поверхности, нормали, направленные наружу от этих областей, то интеграл согласно (5), превращается в

Б этой сумме поверхностных интегралов оба слагаемые, соответствующие одной и той же пограничной поверхности, компенсируют друг друга в силу условия непрерывности (5) и в силу условия (4), по которому функцию можно также считать непрерывной; интеграл по бесконечной поверхности равен О в силу (6) или в силу вытекающего отсюда соотношения: а также в силу (6).

Следовательно, равенство действительно доказано.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление