Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА XVIII. КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ ТОКИ И ВОЛНЫ

§ 1. Квазистационарные контуры тока

1. Магнитная энергия поля.

Стационарный ток 1 создает в окружающем пространстве магнитное поле, не имеющее источников и определяемое условием Ампера, которое заключается в том, что линейный интеграл напряжения поля на каждом замкнутом пути охватывающем проводник тока

в то время как интеграл по замкнутому пути, не охватывающему проводника с током, равен нулю

Если ток I изменяется со временем, то, как будет доказано в V части, в окружающем пространстве распространяются возмущения со скоростью, примерно равной скорости света; при этом состояние поля изменяется. Однако, в том случае, когда изменение тока со временем совершается медленно по сравнению с этим процессом установления поля, то с достаточной точностью можно считать состояние в каждый момент установившимся. При таких условиях говорят о "квазистационарных" изменениях состояния.

Чтобы найти законы таких изменений состояния, будем исходить из энергии поля. Рассматриваемые проводники "линейны", т. е. мы отвлекаемся от их поперечных размеров. Тем самым исключаются электрические заряды на поверхности проводников, так как их емкость, согласно гл. XV, § 4, 1, равна нулю. Пусть для простоты имеются два такие замкнутые проводника, по которым текут токи создающие вместе магнитное поле и поле индукции Оба проводника мы представим себе затянутыми мембранами обе стороны которых для различения обозначим черев В бесконечном пространстве, ограниченном поверхностями мембран, существует согласно (1), потенциальная функция так что

Однако эта функция с обеих сторон мембран принимает различные значения, а именно

Интеграл энергии поля по бесконечному пространству

(см. гл. XVII, § 4, 1) преобразуется по теореме Грина в поверхностные интегралы. При этом

Здесь есть элемент нормали к соответствующему элементу поверхности, направленной наружу. Если под в выражении для составляющих подразумевать нормаль к мембране на положительной ее стороне, то

и величины имеют одинаковое значение с обеих сторон. Следовательно

Здесь

называются магнитным потовом сквозь сечение замкнутого проводника или Соответственно разложению величины также разделяются на две части, зависящие от токов и :

Вычислим разность

Далее вследствие непрерывности на поверхности и на поверхности

Из мы получаем с помощью вычитания интеграл по поверхности, составленной из четырех частей

(по теореме Гаусса и следовательно

В силу этого важного соотношения симметрии магнитная энергия (3) принимает вид:

называются коэффициентами самоиндукции, есть коэффициент взаимной индукции обоих проводников.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление