Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Критерий его применимости.

Вопрос сводится к тому, возможно ли найти функции вида (1), обладающие тем свойством, что если их подставить в выражение § 4 (40) для то все выпадают. Производные функций по

тоже содержат по одной координате Подставляя выражения (1) для мы получим

Если мы введем функцию величин посредством равенства

то величины должны после подстановки из ур-ний (1) превращаться в функции одних только так как

Следовательно, при должно быть:

Если мы введем в это выражение и затем выразим и через то мы получим условие, которому должно удовлетворять как функция для юго, чтобы можно было применить метод разделения переменных:

Если представляет гамильтонову функцию механической задачи, координаты положения, то на основании где К однородная квадратичная функция относительно, а V — от них не зависит. Если мы подставим эти значения то левая часть ур-ния (6) будет представлять собой полином четвертой степени относительно Следовательно, тождество (6) может иметь место только в том случае, если члены каждой степени в отдельности равны нулю. В частности, рассмотрим члены нулевого порядка, они янеют вид:

и условие их обращения в нуль имеет в силу § 2 (53) вид:

Эти уравнения выполнены, например, в том случае, когда К имеет только чисто квадратичные члены. В этом случае получаем системы, изученные Штеккелем по методу разделения переменных. Если положить при этом

Мы нолучим установленные Штеккелем условия, которым должны удовлетворять чтобы было возможно интегрирование по методу разделения пере.

менных, если подставим значение в (6) и приравняем нулю коэффициенты при отдельных степенях

Легко показать, что условия (6) достаточны для возможности интегрирования посредством разделения переменных, однако на этом мы не будем останавливаться. Во всех конкретных случаях это утверждение можно проверить, подставляя в решения (1).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление