Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Колебание цепей. Сопротивление при переменном токе.

Пусть цепи, изученные в 2, имеют омические сопротивления следовательно, омические падения напряжения в них равны Далее, пусть в каждую из них включен конденсатор с емкостью К, и, соответственно, Падения напряжения в конденсаторе тогда равны и соответственно и потому интегралы напряжений в формуле (11) принимают вид:

Далее формулы (11), (12), (7), (8) вместе приводят к следующим уравнениям:

Изучим сначала свободные колебания одной несвязанной колебательной цепи. В этом случае опуская значки в формуле (13) и исключая мы получаем дифференциальное уравнение второго порядка:

Вставляя известные выражения решения получаем уравнения, определяющие :

следовательно

Когда то мы имеем дело с апериодически затухающим током в цепи; наоборот, когда частные решения уравнения имеют вид:

следовательно, в этом случае в цепи происходят затухающие колебания с логарифмическим декрементом к и частотой

В общем случае уравнения (13) выражают связанные колебания обеих цепей. Мы не будем изучать этот общий случай, а ограничимся вынужденными колебаниями цепи, которые мы получим, например, в том случае, если будем рассматривать в первом из уравнений (13) член связи как индуктированное периодическое напряжение заданного вида (следовательно, не будем принимать во внимание обратного действия на вторую цепь). Пусть это напряжение имеет вид тогда опуская значки, придем к уравнению:

Так как свободные колебания, существование которых мы установили выше, быстро затухают, то главным образом нас здесь интересуют вынужденные колебания. Если мы, пользуясь известным методом, заменим правую часть уравнения (14) комплексным выражением то мы найдем, что сила тока I есть вещественная часть решения уравнения:

Пусть вынужденное решение имеет вид в таком случае мы получаем:

т. е.

Знаменатель, определяющий комплексное отношение напряжения в току, мы назовем, по аналогии с Законом Ома: "комплексным сопротивлением при переменном токе". Абсолютное значение этого отношения, которое в электротехнике называется "импеданц", равно

При этом, согласно (16), ток отстает по фазе от напряжения на величину

Этот сдвиг фаз в том случае, когда "емкостный" член преобладает над

"индуктивным" членом переходит в опережение. Сдвиг фаз равен нулю в случае, когда частота резонирует с незатухающей свободной частотой, т. е. когда

Для абсолютной величины в зависимости от при заданном формула (17) дает резонансную кривую.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление