Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Квазистационарные волны в проводниках

1. Волновые уравнения.

Как будет показано в гл. XXII на основе уравнений Максвелла, электрические возмущения не только распространяются со скоростью света в свободном пространстве, но также распространяются и вдоль

"идеальных" проводников, которые можно рассматривать как предельный случай металлических проводников при бесконечно большой проводимости. При изучении таких волн можно также, как показали Хивисайд и др., исходить из менее общих соображений, которые для однородных прямолинейных проводников в результате совпадают с теорией Максвелла. Для составных проводников этот метод дает лишь приближение к тому полю, которое удовлетворяет уравнениям Максвелла. Однако это приближение имеет преимущество большей простоты.

Рис. 83.

Пусть два цилиндрические проводника (1, 2, см. рис. 83) расположены параллельно оси мы будем рассматривать такие волны, в которых токи обоих проводников равны по величине и противоположны но направлению. (Если бы этого не было, то можно было бы прибавить третий проводник, например землю так, чтобы сумма токов равнялась нулю.) Токи оказывают двоякое действие: во-первых, они создают в окружающем пространстве магнитное поле и во-вторых, они заряжают проводники электричеством; в связи с этим, а также в связи с существованием омического сопротивления между проводниками, появляется электрическое поле Интеграл поля, взятый в сечении х, перпендикулярном к проводникам, от одного из них до другого

называется напряжением проводника 1 по отношению к проводнику 2 в этом сечении. Вдоль самих проводников

где суть омические сопротивления проводников на единицу длины.

Возьмем два поперечных сечения перпендикулярных к обоим проводникам, и рассмотрим прямоугольник Так как закон индукции Фарадея, выведенный в § 1, не зависит от того, является ли рассматриваемая цепь замкнутой или она прерывается конденсатором, то мы имеем право применить этот закон к нашему прямоугольнику, контур которого частью проходит

в проводниках, частью в промежуточной среде. Следовательно, для замкнутого обхода по контуру прямоугольника мы имеем:

Второй интеграл относится к плоской новерхности ограниченной прямоугольником, а есть направление нормали к этой поверхности. Вставляя (1), (2) в интеграл, стоящий на девой стороне уравнения (3), мы получим:

Здесь мы перейдем к пределу, приближая дифференцирование по Из поверхностного интеграла слева получается с точностью до множителя линейный интеграл выражающий поток на единицу длины проводника в этом месте, и вводя сокращенное обозначение мы получаем:

где все величины надо брать в сечении х.

Мы сделаем здесь следующие упрощающие предположения, справедливость которых и правильность выведенных из них следствий выяснится на основе уравнений Максвелла (гл. XIX):

a) Индукцию можно вычислять из силы тока так, как если бы ток был одинаков вдоль всего проводника. Таким образом, вычисление магнитного поля представляет собой двухмерную задачу. При этом мы пренебрегаем также индуктирующим действием "тока смещения", который, по предвтавлениям Максвелла, течет от проводника к проводнику (см. часть IV, особенно гл. XV, § 2, 3). Поэтому мы будем называть такие волны "квазистационарными".

b) На обоих проводниках находятся заряды, которые, в силу предположения равны по величине и противоположны по знаку в каждом сечении. Пусть их плотность на единицу длины на обоих проводниках равна Напряжение мы будем вычислять из плотности заряда так, как если бы плотность заряда вдоль всего проводника была постоянна, — если бы, следовательно, мы имели дело с двухмерной задачей гл. XV, § 4, 2.

Если принять в расчет направление индуктированного поля (правило Ленца), то индукция на единицу длины, согласно предположению а), примет вид:

здесь называется "самоиндукцией проводника на единицу длины". Следовательно, вместо (4) мы получим:

С другой стороны, но предположению можно ввести постоянную К, — "емкость на единицу длины", определяемую соотношением

Наконец, вследствие неизменности полного заряда, изменение варяда отрезка между сечениями есть

следовательно, переходя к пределу

и на 7) и (8)

Уравнения (6), (9), связывающие напряжение и ток и управляющие распространением волн тока И напряжения, называются телеграфными уравнениями. Между постоянными всегда имеется соотношение, которое, как легко убедиться, вычисляя поле, имеет вид:

Здесь суть диэлектрическая постоянная и магнитная проницаемость среды, окружаюхцей проводники, с есть скорость света в пустоте, и все величины выражены в электромагнитных единицах.

Исключение напряжения из (6) и (9) дает

и то же самое уравнение получилось бы для напряжения если бы мы исключили силу тока Общий вид решения этого уравнения может быть получен в предположении, что проводник неограничен и что задано начальное распределение и то есть, согласно (6), задано

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление