Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Бегущие волны произвольной формы.

Частные решения (11), из которых мы исходили в 2, можно, в силу (14), (14), написать в виде:

в этой форме они представляют собой бегущие волны с коэффициентом затухания не зависящим отдлины волны . Скорость их распространения равна

Эта величина зависит от длины волны только через квадратичный член

Если мы при вычислении ограничимся линейными членами, то все волны будут распространяться с одинаковой скоростью и иметь одинаковый коэффициент затухания. После того как установлено таким образом действие затухания, мы упростим задачу тем, что совсем пренебрежем омическим сопротивлением проводника. Тогда мы вместо (6), (9) получим уравнения:

Общее решение этих уравнений, выраженное через две произвольные функция имеет вид:

где

Задачи, изучаемые с помощью этих бегущих волн, относятся в случаям отражения от концов проводников или к случаям перехода на проводники с другим волновым сопротивлением, например, от воздушного проводника в кабель. При этом приходится иметь дело между прочим со следующими пограничными и переходными условиями:

На конце проводника

a) Разомкнутый конец проводника В этом случае а следовательно:

Здесь надо считать падающей, отраженной волной в области Отражение происходит таким образом, что сила тока на конце равна нулю, а напряжение удваивается.

b) Замкнутый конец проводника при т. е. следовательно

В этом случае ток падающей волны при отражении от конца удваивается.

c) Нагрузка омнческнм сопротивлением В этом случае

следовательно

Отраженная волна отсутствует в том случае, когда — т. е. сопротивление нагрузки и волновое сопротивление равны друг другу.

d) Нагрузка индуктивным сопротивлением В этом случае на конце

откуда для определения при заданном получается линейное неоднородное дифференциальное уравнение:

Если падающая волна гармонически периодична, а именно выражается множителем то это условие имеет вид:

следовательно, отраженная волна по величине равна падающей, но сдвинута относительно нее по фазе.

Переход между двумя проводниками.

а) В точке встречаются два проводника с различными волновыми сопротивлениями, причем сопротивление равно в области и равно в области

Предположим, что в первой области задана волна падающая в направлении уменьшающихся в месте раздела она распадается на отраженную волну и проходящую Поэтому в первой области мы положим, согласно (22)

а во второй области

Условие непрерывности, как тока, так и напряжения, в месте раздела дает:

откуда

Смотря по тому, будет ли отраженная волна тока будет иметь противоположный или тот же знак, что и падающая волна. При первый случай превращается в случай разомкнутой цепи, а при второй случай превращается в случай замкнутой цепи.

b) Омическое сопротивление включено между двумя проводниками с одинаковыми волновыми сопротивлениями В этом случае в уравнениях (23), (23) надо заменить на а при будут иметь место переходные условия:

откуда

Здесь также получается при предельный случай разомкнутого проводника, а при случай свободного прохождения волны без всякого отражения.

c) Пусть теперь вместо омического сопротивления между двумя одинаковыми проводниками в точке включено индуктивное сопротивление 8. Тогдё к уравнениям (23), (23) прибавляются переходные условия:

откуда

Это неоднородное линейное дифференциальное уравнение определяет как функцию аргумента причем, как легко проверить, эта функция имеет вид:

если предположить, что при отрицательных значениях аргумента и при имеют место равенства При этом отраженная волна как функция аргумента определяется соотношением На основании этих уравнений ток во втором проводнике и отраженный ток в первом возрастают постепенно, начиная с момента встречи.

Если, например, в падающей волне (прямоугольная волна), то

причем конечных состоянием является полное прохождение:

Если падающая волна при гармонически периодична с частотой т. е. то конечное состояние определяется выражением:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление