Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Образование преломленных волн.

Пусть в области имеется воздушный проводник, подобный тому, который был рассмотрен в § 2 с

волновым сопротивлением В области к нему приключена катушка Для гармонических волн ее можно, согласно 2, рассматривать как воздушный проводник с волновым сопротивлением Следовательно, если в воздушном проводнике распространяется гармоническая волна с частотой и амплитудой силы тока то на основании задачи а) на стр. 801,. в катушку входит волна той же частоты, причем для ее тока и напряжения мы нолтчаем формулы:

Падающую волну произвольной формы можно представить в виде интеграла Фурье из таких гармонических волн. Пусть, например, мы имеем дело с гармонической волной частоты а с "крутым фронтом", которая достигает места раздела в момент Иначе говоря, пусть падающая волна при будет:

Эту функцию нельвя представить в виде вещественного интеграла Фурье, так как она не интегрируема на вещественном пути от — со до Однако, это можно сделать на комплексном пути.

Рис. 85а.

Рис. 85б.

Действительно, мы имеем:

где последний интеграл взят в комплексной плоскости но комплексному нута, показанному на рис. 85а, обходящему точку против часовой стрелки. Действительно при этот путь можно непосредственно деформировать в большой полукруг, охватывающий отрицательную мнимую полуплоскость, и, таким образом, получить для интеграла значение нуль. При положительном его можно преобразовать только в малый крут х, окружающий точку и в полукруг, охватывающий положительную полуплоскость и дающий опять значение нуль. В качестве вычета, относящегося к окружности х, остается

Следовательно, волна, входящая в катушку при равна, согласно (16) и (17)

Наконец, при нужно прибавить к подинтегральнои функции множитель где имеет значение, определяемое формулой (14). Поэтому, при мы получаем:

как полное решение, определяющее распределение тока. Соответствующее распределение напряжения имеет вид:

При выборе пути интегрирования в (19), (20) необходимо принять в расчет, что подинтегральная функция должна оставаться конечной при всех положительных х, включая Это наверное имеет место в том случае, если квадратная скобка в показателе вещественна. Так как, однако, при квадратный корень является чисто мнимым, то нужно выбрать путь таким образом, чтобы

при было вещественным. Если корень в области был выбран положительным, то мы достигнем этого, если проведем разрезы в плоскости от до и от до и выберем путь интегрирования, указанный на фиг. 85b. При этот путь опять можно деформировать в полукруг, охватывающий отрицательную мнимую полуплоскость так, что интегралы оказываются равными нулю.

При необходимо более подробное исследование. В общих чертах результат заключается в том, что крутой фронт волны при вхождении в катушку становится более пологим, ибо, как было установлено выше, те составляющие волны, которые обладают более высокой частотой, распространяются с меньшей скоростью, причем порядок величины, определяемый формулой (14), остается правильным до критической частоты Но вследствие наличия в показателе квадратного корня, который становится мнимым при с момента становится невозможным при произвольном положительном х деформировать путь интегрирования в отрицательный полукруг, на котором интегралы равны нулю. Это означает, что в момент как так и I внезапнох) принимают при всех положительных х некоторое конечное, хотя и очень маленькое вначале значение; это явление происходит вследствие емкостного действия между обмотками.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление