Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ЧАСТЬ ПЯТАЯ. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

ГЛАВА XIX. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ И МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

§ 1. Основные уравнения и однозначность решений

Под электромагнитными колебаниями мы понимаем периодически зависящие времени решения уравнений Максвелла любой частоты, от коротковолновых рентгеновых лучей и обыкновенного света до волн Герца и радиотелеграфных частот. Здесь нас совсем не интересует вопрос, дают ли уравнения Максвелла окончательное физическое представление этих процессов, или оно будет еще уточнено в смысле теории квант: математическая трактовка распространения волн будет всегда определяться уравнениями Максвелла, даже если в будущем придется рассматривать эти уравнения как результат усреднения квантовых процессов. С другой стороны, испускание и поглощение света, которые несомненно не содержатся в уравнениях Максвелла, также не входят в круг нашего рассмотрения. При этом под "уравнениями Максвелла" мы будем понимать, в противоположность историческому положению, дел, не только их упрощенную форму, данную Герцем и Хивисайдом, но также и уравнения электронной теории Лоренца и их релятивистское обобщение.

1. Собственно теория Максвелла.

Уравнения Максвелла для неподвижной среды, в удобных (рациональных, свободных от единицах и в математически удобной системе мер (электрические величины, включая ток, измерены в электрических, магнитные величины — в магнитных единицах), имеют вид:

В есть магнитная индукция, электрическое смещение, электрическое и магнитное поля, ток проводимости, объемная плотность (истинного) электрического заряда, с — скорость света в пустоте представляет определение Из можно заключить, что для непроводников не зависит от времени, так как Точно так же из следует, что не меняется со временем. Эту величину можно назвать истинной плотностью магнитных источников. специализирует это условие в том отношении, что вектор В вообще не должен иметь источников (должен иметь соленоидальный характер).

Уравнения и только тогда получают физический смысл, если мы к ним присоединим взятые из опыта зависимости между векторами и . Для изотропной среды, в отсутствии магнитного и электрического насыщения и гистерезиса, эти зависимости имеют вид:

Положительные коэффициенты о называются: диэлектрическая постоянная, магнитная проницаемость, проводимость.

Далее, необходимо ввести с помощью дополнительных аксиом энергетические и нондеромоторные величины.

Форма уравнений позволяет ввести следующие определения (см. ниже 2):

Таким образом, плотность энергии дается скалярным произведением, — а поток энергии векторным произведением.

Для изотропной среды скалярное произведение приводится к простому произведению абсолютных величин.

Кулоновские силы между двумя точечными электрическими зарядами или между магнитными полюсами будут в наших единицах, согласно

где обозначают константы промежуточной среды. Отсюда следует, что мы перейдем к обыкновенным "условным" единицам (которые употребляются в разделе если во всех формулах заменим

Если мы хотим дальше перейти от электрических ("электростатических") к магнитным "(электромагнитным") единицам, мы должны, кроме того, заменить.

Уравнения имеют силу во всем пространстве независимо от присутствия каких-либо неоднородностей или переходных слоев. Так как бесконечно большие значения нужно исключить из энергетических соображений, те для переходных слоев из вытекают следующие условия на границах для тангенциальных составляющих:

тогда как и дают для разности нормальных составляющих по обеим сторонам поверхности условия

где (истинная) поверхностная плотность электрического заряда в пограничном слое; соответствующая магнитная величина, согласно равна нулю.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление