Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Замечание о математической трактовке колебательных процессов.

Математическая трактовка чисто периодических процессов очень облегчается введением комплексных величин. Пусть имеется некоторое периодическое поле с периодом колебания следовательно, с круговой частотой (число колебаний единиц времени) Тогда мы положим:

с оговоркой, что справа мы, собственно, подразумеваем только вещественную часть. Независящие от функции положения которые, как и являются векторами, будут вообще комплексными величинами.

Назовем комплексными полями. Если взять вещественные части выражений (9), мы получим:

Однако, очевидно, что гораздо легче пользоваться при вычислениях выражениями (9), чем (10). Поэтому мы будем переходить в вещественным частям (если вообще будем переходить) только в самом конце вычислений.

Предпочтение перед чисто условно и несущественно, как для вещественной части, которая все время подразумевается, знак не может иметь никакого значения. Наш выбор представляет однако некоторое удобство, к чему мы еще вернемся. Наглядный пример нашего комплексного представления дают некоторые диаграммы в технике переменных токов. Изображение токов и напряжений в виде векторов в плоскости чертежа (соответственно их фагам) и векторное складывание их вполне соответствуют нашему вычислению с комплексными величинами. Как известно, векторные диаграммы электротехнику надо представлять себе вращающимися около нулевой точки с постоянной угловой скоростью (наше ); мгновенные значения представляемых величин получаются при проектировании на горизонтальный диаметр векторной диаграммы. То, что в технике переменных токов, как правило, отвлекаются от этого равномерного движения и интересуются только относительным расположением векторов, —

соответствует тому обстоятельству, что мы, как правило, будем опускать временной множитель Проектирование вектора на горизонтальный диаметр соответствует у нас очевидно образованию вещественной части. Плоскость векторной диаграммы есть не что иное как гауссова плоскость комплексных чисел.

Если мы, пользуясь исключим из Максвелловых уравнений и величину в предположении, что о постоянны во всем пространстве, то мы получим для дифференциальное уравнение

Точно такое же уравнение получается для после исключения Мы будек завывать (11) волновым уравнением.

Оно показывает, что скорость волн равна и что проводимость действует как причина затухания (вследствие выделения джоулева тепла).

Если мы в (11) подставим еще для выражение (9), получится характерное для монохроматических колебательных процессов дифференциальное уравнение:

где под и можно подразумевать, кроме также и и другие электромагнитные векторы В и т. д. Уравнение (12) также будем называть волновым уравнение (или уравнением колебаний).

Введенную в уравнении (12) постоянную к будем называть волновым числом. Его размерность — обратная длила. В пустоте по (12), будет

причем определяется как путь, пройденный светом за время одного колебания, Название "длина волны" происходит из того, что в простейшем случае плоской волны X характеризует пространственную периодичность колебательного процесса (для более общих состояний к имеет этот смысл только асимптотически, для достаточно больших расстояний от источника).

Условимся, что в случае проводящей среды где по (12), комплексно, из двух значений к с противоположными знаками мы будем выбирать то, которое имеет положительную мнимую часть.

Плоская волна, распространяющаяся в направлении положительной оси представляется в комплексной форме так:

Это очевидно связано с тем, что мы взяли временной множитель в виде В этом случае в показателе будет стоять выражение которое, если его приравнять постоянной, указывает, что при возрастании колебательное состояние распространяется в направлении положительной оси х.

В множителе А соединены амплитуда а и фаза Самое общее решение уравнения (12), зависящее только от х, гласит:

Второе слагаемое представляет плоскую волну, распространяющуюся в направлении Отрицательной оси х. В частности, при сумма обоих членов представляет стоячую волну.

Ниже мы увидим (ср. § 4, 2), что решение уравнения (12), представляющее шаровую волну, расходящуюся из нулевой точки имеет вид:

Шаровой волне, сходящейся в точку не имеюкцей никакого физического смысла, соответствовало бы выражение:

все это, в обоих случаях, конечно, только тогда, когда временной множитель пишется в форме с что в уравнениях (14) и (15) волны, распространяющиеся в сторону пишутся с и есть одно из удобств нашего выбора знака.

Мы всегда получим амплитуду колебательного процесса, если возьмем абсолютную величину (модуль) наших комплексных выражений. Например, в случае плоской волны, [уравнение (14)], где мы положили при отсутствии затухания (к вещественно), получается:

Само собой разумеется, что комплексный способ написания допустим только для линейных выражений, а не для произведений или квадратов; как известно, произведение вещественных частей двух комплексных величин отлично от вещественной части их произведения. Однако и здесь полезно употреблять комплексные величины, поскольку вещественные части удобнее всего вычислять как арифметическое среднее из самого комплексного числа и его сопряженного.

Рассмотрим, например, произведение двух колебательных величин, которые задаются двумя (скалярными или векторными) комплексными выражениями.

Спрашивается, каково будет среднее по времени от этого произведения? (Обычно практически только это и важно.) Обозначим среднее по времени через и комплексно сопряженные выражения через . Тогда мы имеем:

и, так как в среднем

Для отсюда следует еще более простое выражение

Электротехники широко пользуются этими уравнениями для понятия эффективного тока. Если комплексное представление какого-нибудь переменного тока, т. е. имеющий направление ток на векторной диаграмме, то будет амплитуда тоха» т. е. длина вектора тока. С другой стороны, вводится величина определяемая как

т. е. как среднее значение квадрата.

По уравнению (18), мы имеем соотношение:

Если, наконец, подставить в (17) для и комплексный ток для комплексное напряжение то будет равняться мощности Из (17) получается, если обозначить через разность фаз между током и напряжением:

или, принимая во внимание (19),

Мы укажем еще на формальное упрощение, которое получается, если в рядах Фурье ввести вместо вещественных тригонометрических - комплексные показательные функции.

Обычно разложение функции между пишется так:

С Эфим совершенно эквивалентна более простая формула, в которой член в не занимает исключительного положения:

или

Связь между нашими комплексными коэффициентами с и вещественными a и b, очевидно, следующая:

Для переменного тока произвольного вида мы вместо (21) напишем, принимая во внимание

Для вычисления среднего квадрата образуем:

При образовании среднего выпадают все члены, в которых произведения, показательных функций не равны единице. Остается простая сумма:

Для определения мощности следует умножить на

и составить

Если обозначает разность фаз между комплексным напряжением и током, то, как и в (20):

При сравнении (22) и (23) о (19) и (20) следует обратить внимание на то» что обозначают только половину вещественной амплитуды тока (или напряжения Именно, из для для Мы напишем поэтому:

и будем иметь вместо (22) и (23)

Первое уравнение утверждает, что квадрат полного эффективного тока равен сумме квадратов частичных эффективных токов. Второе уравнение показывает [см. (20)], что полная мощность равна сумме мощностей всех частичных токов (с соответствующими напряжениями).

Комплексный способ применим также в теории интегралов Фурье. Мы заменим обычную форму

другой, более выгодной для наших целей:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление