Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Инвариантность уравнений Максвелла по отношению к преобразованию Лоренца

Так как электронная теория объясняет электродинамические свойства материи с помощью подвижных или приведенных в движение электронов, она

имеет дело с единой средой — пустым пространством (с "чистым эфиром"). Для этого пространства так что основные уравнения § 1, если в них подставить вместо его выражение будут иметь вид:

Чтобы понять структуру этих уравнений и, вместе с Тем, подготовить их интегрирование, покажем, что они допускают некоторую группу преобразований. Мы тем самым пойдем по пути, который был намечен Клейном в его "Эрлангенской программе" сначала только для различных геометрических дисциплин, а затем распространен им самим на механику и теорию относительности.

1. Введение электромагнитных потенциалов.

Мы удовлетворим уравнению если положим:

А называется "вектор-потенциалом". Уравнение (1) напишется тогда так:

Стоящая в скобках величина является, таким образом, невихревым вектором, И потому есть градиент скалярной функции. Назовем эту функцию — у; мы получим:

называется скалярным потенциалом. Подставляя (2) в и будем иметь:

Заметим, что последнее преобразование возможно только при употреблении прямоугольных (не криволинейных) составляющих А.

Мы можем еще более упростить два последних уравнения, если подчиним потенциалы дополнительному условию, которое только и определит однозначно.

Именно, положим

Тогда в (4) градиенты выпадут с обеих сторон и (4) перейдет в дифференциальное уравнение для одного А:

Точно так же (3) переходит в дифференциальное уравнение для одного

Левые части уравнений (3) и (4) имеют теперь вид "волнового уравнения" в смысле § 1, (11).

Действительный смысл этих соотношений выясняется только тогда, когда мы вместе с Минвовским сделаем явной четырехмерную симметрию пространственных и временных координат. Мы будем употреблять прямоугольные координаты и в качестве четвертой координаты мнимый "световой путь" Эти четыре координаты мы будем обозначать также и определим с их помощью четырехмерный "координатный вектор". Затем объединим вектор-потенциал и умноженный на скалярный потенциал в один четырехмерный потенциал а величины в один вектор — четырехмерный ток Составляющие по координате будут Они, так же как и для трехмерных векторов, обозначают проекции на оси координат. Мы ввели, таким образом, три четырехмерных вектора, компоненты которых получаются из следующей таблицы:

Таблица 1 (см. скан)

Перенося простейшие векторные операции на четырехмерные векторы, определим, как "расходимость четырехмерного вектора", скалярную величину:

Затем определим "вихрь" величину с шестью составляющими — называемую "антисимметрическим тензором" или "шестерным вектором" (Sechser-vektor).

Составляющие ее суть

И наконец, введем "четырехмерную операцию дельта" в символике, которой уже пользовался Коши:

После этого, уравнения (3) и (4) соединятся в

ополнительные условия (5) будут:

и уравнения (1) и (2) можно единообразно представить в виде:

Прежде чем мы займемся выводом следствий этого удивительно красивоп представления, мы должны выяснить структуру антисимметричного тендорь в уравнении (9).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление