Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Антисимметричный тензор поля.

Мы будем считать, что электрическое и магнитное поля представляют лишь разные стороны одной более общей четырехмерной величины

Сопоставление ее составляющих с составляющими показано в следующей схеме:

Тавлица 2 (см. скан)

К ней мы сделаем следующие замечания:

1. Схема антисимметрична, т. е.

и поэтому

Следовательно, шестнадцать составляющих тензора второго ранга сводятся шести.

2. Два вначка показывают, что составляющие относятся не к координатным осям, как для четырехмерного вектора, но к шести координатным плоскостям. Соответственно с этим, геометрйческим изображением тензора будет отрезок, а часть плоскости [вообще две взаимно перпендикулярных части плоскости 1)].

3. Наличие двух значков понятно, так как даже если его рассматривать в трехмерном пространстве, не полярный, а аксиальный вектор; означает собственно не составляющую по оси а по плоскости Этому соответствует обозначение двумя значками или Выбор знака дается циклическим порядком индексов 1, 2, 3, например

4. В то время как дается чисто пространственными составляющими задается смешанными пространственно временными составляющими. Мнимая единица в формуле или 1, 2, 3, соответствует поэтому мнимой временной координате.

5. Теперь мы можем легко проверить, что уравнение (9) содержит оба уравнения (1) и (2). Вместо уравнения (9) мы можем теперь, учитывая панисать яснее

и получим тогда по таблицам 2 и 1:

что совпадает с (1) и (2).

6. Уравнения (IV) тоже принимают теперь симметричную форму. Их можно резюмировать таким образом:

В первом уравнении суммируем по от 1 до 4, а к держим постоянным; во втором держится постоянным, а обозначают остальные три индекса в циклическом порядке. Например, для второе уравнение дает:

а это и есть первая составляющая уравнения

Дифференцирование в уравнениях представляет также вычисление некоторой расходимости тензора.

7. Первоначальные уравнения Максвелла также допускают соответствующую четырехмерную формулировку. Но тогда мы должны ввести два антисимметричных тензора, которые мы определим так:

и должны дополнить ток проводимости до четыремерного вектора, введя четвертую составляющую Тогда уравнения (I) - (IV), § 1, напишутся так:

с тем же значением индексов, как и в (10). Удивительное на первый взгляд сопоставление величин с одной стороны, и с другой, было, разъяснено который называл первые "количествами", а вторые "интенсивностями".

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление