Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Группа ортогональных преобразований.

Цель векторных обозначений в обыкновенной (классической) физике — показать независимость уравнений от выбора системы координат. Переход от одной прямоугольной координатной системы к другой осуществляется посредством трехмерного ортогонального преобразования. Уравнения, не инвариантные или ковариантные относительно этих преобразований, физически бессмыслены.

Наши уравнения (7) — (9) позволяют непосредственно установить, что уравнения Максвелла инвариантны не только по отношению в трехмерным ортогональным преобразованиям также и по отношению в четырехмерным ортогональным преобразованиям координат Четырехмерные ортогональные преобразования определяются требованием инвариантности квадрата расстояния произвольной "мировой точки" (пространственно-временной точки) от начала :

(теорема Пифагора в четырех измерениях) или инвариантности "линейного элемента" (расстояние двух соседних точек):

Преобразование представляется следующей схемой:

Таблица 3 (см. скан)

и соотношениями

Мы назовем теперь четырехмерный вектором всякую четверку величин, которые при преобразовании координат преобразуются как сам координатный вектор, т. е. по схеме 3. Должно быть, например,

Далее, мы назовем антисимметричным тензором шесть величин, преобразующихся ко схеме

Эти формулы выводятся из предыдущих, если сначала рассмотреть тензор частного вида преобразование которого уже задано преобразованием четырехмерного вектора

Из полученного преобразования для следует преобразование для если принять во внимание, что Далее, легко убедиться, что уравнения (7) — (9) сохраняют свой вид при переходе к произвольной "штрихованной" системе. В частности, легко вычислить, что представляет инвариантную дифференциальную операцию, что также инвариантно и что преобразуется как антисимметричный тензор. То же самое можно показать, на основании определения (12) и (13), для первоначальных уравнений поля (10) или

Так как только что установленная инвариантность не может быть случайна а должна основываться на самом существе электродинамики, мы заключаем: не существует никакой исключительной системы координат (никакого абсолютного эфира); все ортогональные четырехмерные координатные системы равноправны.

В частности электромагнитные колебания распространяются в пустоте во всех координатных системах с одной и той же скоростью света с, причем это имеет место независимо от состояния движения испускающего центра (принцип постоянства скорости света).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление