Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Световые лучи и волновые поверхности.

Уравнение траектории световых лучей можно вывести не только из принципа Ферма, но и из другого принципа, не содержащего вариации интегралов, а рассматривающего возбуждение света в одной точке пространства. Этот вывод обладает тем преимуществом, что он позволяет одновременно определить траекторию световых лучей и распространение волновых поверхностей.

Этот принцип гласит: "Элемент волновой поверхности, положение которого определяется единичным вектором имеющим направление нормали, перемещается вдоль светового луча в направлении соответствующем наибольшему значению волновой скорости, определяемой уравнением (13)". В силу (13) и (19) мы имеем:

Следовательно, нам нужно найти такой единичный вектор в, при котором правая часть уравнения (37) имеет минимальное значение. Тогда, если удовлетворяется добавочное условие то производные этого выражения по составляющим должны равняться нулю, т. е. в векторной форме:

где X есть некоторый множитель, определяемый из добавочного условия. Выполняя операцию мы получим:

Умножая это уравнение скалярно на мы можем найти Действительно, так как то

Соотношения (38), (39), (37) приводят к следующему окончательному результату:

Отсюда видно, что выражение есть вектор, "соответствующий единичному вектору светового луча в смысле уравнения (23). Следовательно пользуясь обозначениями формул (21) и (23), можно также написать:

При помощи уравнения (40) кояшо вычислить направление светового луча и волновую скорость для каждого элемента волновой поверхности, заданного его положением и нормалью, т. е. векторами Уравнение (40), совместно с ураг внением представляет собой систему четырех скалярных уравнений

с четырьмя неизвестными. Простой способ нахождения этих неизвестных состоит в следующем. Прежде всего решим уравнение (40) относительно При этом мы найдем соотношение вида

Если есть однородная функция первого порядка относительно составляющих а следовательно, однородная функция нулевого порядка относительно этих величин, то, решая уравнение (40), мы получим только два соотношения между в этом случае не имеет определенного значения и дальнейшие соображения неприменимы. Как поступать в этом случае, показано на примере, приведенном в § 3, 3.

Векторная функция на основании равенства должна удовлетворять соотношению:

Очевидно При помощи уравнения (43) можно вычислить как функцию от т. е. действительно приписать каждому элементу волновой поверхности свою волновую скорость. Подставляя найденное выражение для в формулу (42), легко найти направление светового луча. Введем теперь вектор:

который мы назовем вектором нормали, соответствующим рассматриваемому лучу.

Согласно (43) он удовлетворяет уравнению которое можно переписать и в другом виде. Действительно, так как есть единичный вектор, то, умножая обе части уравнения (40) скалярно на мы получим уравнение:

позволяющее, так же как и уравнение (43), определить Левую часть уравнения (45), как функцию от мы назовем функцией Гамильтона для рассматриваемой задачи и обозначим через Следовательно,

и уравнение, определяющее вектор нормали или, если задан элемент волновой поверхности, определяющее скорость принимает вид

С помощью функции Гамильтона вектор луча легко можно представить в виде функции от вектора нормали таким образом, получить выражение для функции входящей в уравнение (42), в явном виде. Для этой цели составим частные производные от по составляющим вектора т. е. найдем вектор Тогда, в силу (46) и (42), мы получим:

Но мы можем написать уравнение, аналогичное (21):

где под подразумевается дифференциальная операция вихря по отношению составляющим вектора Далее, по аналогии с уравнением (34), легко что

Это соотношение можно получить из формулы (3а) стр. 10, если принять во внимание, что дифференцирование должно быть выполнено по составляющим вектора и поэтому, например,

Если мы выразим и при помощи уравнений (44) и (40) черев в и примем внимание, что из аналогично уравнению (23), следует:

то мы получим на основании (48), (49), (50), (51)

Соотношение между не всегда нужно представлять при помощи уравнения (52), в котором есть функция, определяемая уравнением (46); могло бы также иметь место уравнение, эквивалентное уравнению (47), вида у

причем предполагается, что В таком случае и на основании равенства и уравнения (52) мы получим:

Здесь функцию можно найти, идходя из условия, что Из него следует, что

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление